Una corona de circumferències

(3r dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

Un dels aprenentatges experimentals que hom pot fer des de ben jove, és el que ens mostra la fotografia. És a dir, que un cercle (salvant les distàncies, a la imatge) es pot envoltar d’una corona de sis cercles iguals tangents entre sí.

Una primera ullada ens diu que la circumferència que circumscriu aquests sis cercles (la vora del plat que els conté si el plat fos un poc més petit) tindrà un radi de longitud triple que el dels cercles inscrits.

També podem recordar que si seguim col·locant tomàtigues així, aquesta serà la millor manera d’empaquetar cercles, tal i com va demostrar Gauss. (Podeu consultar una altra mirada a Ciència de la Fira II)

Però en realitat, això no és més que un cas particular del teorema dels 7 cercles, que afirma que si inscrivim una corona de 6 cercles (no necessàriament iguals) tots ells tangents a l’interior d’una circumferència donada i tangents també cada un amb els seus dos veïns, les tres rectes que uneixen els punts de tangència de parells oposats, es tallen en un sol punt. Aquest teorema no fou descobert fins el 1974 per Evelyn, Money-Coutts, i Tyrrell. Aquí teniu una imatge tractada amb el GeoGebra.