AlfaBetaGamma: espai expositiu

1. Constel·lacions triangulars

Quina deu ser l’etimologia de la paraula constel·lació? Quan al cel veiem dues estrelles molt juntes, és possible que realment no hi estiguin tant? Per què?

Les constel·lacions són conjunts aparents d’estrelles en els quals la cultura popular hi ha volgut veure formes conegudes. Això en facilita molt la localització visual dins d’un oceà de punts lluminosos. La del triangle és una petita constel·lació, visible des de l’hemisferi nord, amb forma d’un triangle allargat. És una de les 88 constel·lacions modernes definides per la Unió Astronòmica Internacional i es troba entre Àries i Andròmeda. El triangle d’estiu no és, pròpiament dit, una constel·lació sinó un asterisme que està format, en els seus vèrtexs, per Deneb (de la constel·lació del Cigne), Altair (de la constel·lació de l’Àguila) i Vega (de la constel·lació de la Lira), tres estrelles molt lluents.

(Fotografia: el triangle d’estiu, d’Àngel López Jiménez i Rafael Pacheco Hernández)

2. El triangle a la natura

Seria relativament senzill trobar circumferències o esferes a la naturalesa però localitzar formes triangulars ja no ho seria tant. Se t’ocorre algun animal, planta o mineral que presenti aquesta geometria?

El triangle és una forma que, malgrat la seva senzillesa, no és evident a la naturalesa. Comencem pel món de les plantes. L’olivella és un arbust mediterrani, relativament baix, les fulles del qual recorden l’olivera i d’aquí el seu nom popular. Si ens fixam en el seu nom científic (Cneorum tricoccon) la darrera paraula ens indica que el seu fruit està compost per tres bolles en disposició triangular. També, la majoria de les seves flors, tenen 3 pètals (tot i que és fàcil trobar-ne de 4). Altres plantes, com el papir o l’allassa (Allium triquetrum), tenen la tija principal de secció triangular. En el món de les papallones nocturnes, el triangle és una forma habitual de les ales quan aquestes estan plegades o dels dibuixos que poden presentar espècies com la Rhodometra sacraria. I si cercam animals superiors, les dents dels taurons són els millors triangles per descarnar les seves preses.

(Foto: mandíbula de solraig (Isurus oxyrhinchus) pescat el 1963. Cortesia de Pescados Miró SA)

3. Els triangles del cos

Té alguna cosa a veure, el nom de tríceps, amb el triangle? Tens present algun òrgan o part del cos humà que recordi la forma, aproximadament, del triangle?

Els músculs del cos humà tenen formes diferents segons l’espai que ocupen i la funció que han de fer. Alguns d’ells recorden la forma triangular i per això reben aquest nom. És el cas del múscul que ens permet alçar els braços, el deltoides, que rep aquest nom precisament per la seva forma triangular i la de la lletra grega delta (D). O del múscul triangular (o depressor) de l’angle de la boca. Altres vegades, el triangle fa referència a l’espai delimitat entre músculs on s’hi localitzen estructures anatòmiques de rellevància. És el cas del triangle femoral (o triangle d’Scarpa), a la part superior de la cuixa, que és l’espai que estotja l’artèria, la vena i el nervi femoral. Fora dels músculs, l’escàpula o omòplat és un os relativament pla que presenta també la forma triangular. (A la imatge, el triangle suboccipital o triangle de Tillaux, que conté l’artèria vertebral, l’arc posterior de la vèrtebra C1 o atles i el primer nervi cervical posterior.)

(Imatges: Francisco Reina de la Torre i Anna Carrera Burgaya. Grup de Recerca NEOMA, Departament de Ciències Mèdiques, Facultat de Medicina, Universitat de Girona.)

4. El triangle a la prehistòria

Quines són les figures geomètriques més senzilles que trobam clarament representades a la prehistòria? On podríem localitzar triangles?

Les societats prehistòriques, aquelles que encara no havien desenvolupat l’escriptura, incorporaren molt ràpidament, ja sigui per observació de la naturalesa com per abstracció pròpia, les línies i figures geomètriques més senzilles: cercles, espirals, quadrats... o fins i tot els triangles. Les representacions més antigues que conservam ens parlen de triangles gravats a la superfície d’objectes de ceràmica o d’objectes tan complexos com els botons triangulars d’os amb dos forats. Aquest és el cas de l’aixovar trobat al sepulcre megalític de Ca Na Costa, a Formentera, amb botons triangulars i piramidals d’os o d’ullal.

(Imatge: Museu Arqueològic d’Eivissa i Formentera, sepulcre de Ca na Costa, 2000-1600 aC)

5. Piràmides i arquitectura

En parlar de piràmides, normalment ens venen al cap les tres grans piràmides egípcies: Kheops, Khefren i Micerí. Quines altres cultures antigues construïren també piràmides?

Una piràmide és un poliedre format per una base, normalment un polígon regular, que presenta les cares laterals triangulars, les quals comparteixen el vèrtex que no pertany a la base. La piràmide més senzilla és la que té per base també un triangle i, llavors, s’anomena habitualment tetraedre. En arquitectura, les piràmides més conegudes són de base quadrada i són famoses les d’Egipte, les de Mesopotàmia, o les de les cultures mesoamericanes precolombines (especialment la piràmide del Sol a Teotihuacan).

(Foto: piràmides de Kheops i Khefrén, Egipte. Guillem Alomar Canyelles)

6. Utthita trikonasana

Quin deu ser el motiu que en llengües tan diferents diferents com el català, l’anglès, l’alemany, el grec o el sànscrit, la paraula «tres» tengui la mateixa arrel?

El ioga és una pràctica tradicional originària de la Índia que persegueix l’equilibri corporal, mental i espiritual. L’etimologia del mot significa unió (que es pot entendre com la unió del cos i la ment a nivell interior, i de la persona amb l’univers a nivell exterior). Les postures corporals (asanes) són una part important d’aquesta pràctica i reben noms que en general fan referència a allò que puguin recordar (l’asana del guerrer, la fulla plegada, el peix...). Una d’aquestes asanes és la del triangle que en sànscrit es diu: utthita trikonasana.

(Imatge: Mónica Gómez Pina en la posició del triangle invertit)

7. El logo de Déu

Per què les persones varen inventar els logos? Quina és la funció d’un logo? Per què uns dels logos emprats per representar Déu és el triangle?

Els logos són símbols que permeten identificar una empresa, un producte o una idea. En general, fins a mitjans s. XX, els logos eren dibuixos figuratius que imitaven allò que representaven. Es pot acceptar que els logos nasqueren al país de Sumer amb els primers segells personals impresos sobre fang. El triangle és un dels logos de Déu més antics en la religió catòlica i el trobam a moltíssimes representacions escultòriques, en relleus, etc. Això és degut al fet de la Santíssima Trinitat (Déu pare, Déu fill i Esperit Sant).

(Imatge: La Gloria o Adoración del nombre de Dios de Francisco de Goya y Lucientes.
Oli sobre llenç (1771-1772)- Museo Goya. Fundación Ibercaja, Zaragoza. Amb permís.)

8. El teorema de Tales (s. VII aC)

Què és un teorema? A part del teorema de Pitàgores, quins altres teoremes coneixes?

Nascut a Milet (actual Turquia) el s. VI aC, Tales és un dels set savis de Grècia i també és considerat el primer gran geòmetra de la humanitat. Un dels seus teoremes diu: un sistema de rectes paral·leles que talla dues rectes concurrents en un punt determina un conjunt de segments proporcionals. Es tracta d’un teorema amb infinitat d’aplicacions i que és a la base de tota la trigonometria i la geodèsia.

(Imatge: escala de figueralera. Cortesia Biel Camps Ferrer)

9. El teorema de Pitàgores (s. VI aC)

El teorema de Pitàgores és, amb molta diferència, el teorema més famós en la història de les matemàtiques. Sabries dir el nom d’algun altre teorema?

Sembla que Pitàgores nasqué a l’illa de Samos entorn del s. VI aC. No sabem d’ell, amb certesa, gairebé res perquè l’escola pitagòrica que fundà, tenia prohibit deixar cap coneixement escrit i, per tant, tot el que ens ha arribat és per referència d’altri. Però Pitàgores és conegut arreu del món pel teorema que porta el seu nom. Realment, el teorema ja era conegut pels babilonis mil anys abans, però de Pitàgores seria el mèrit de la demostració. El teorema diu que un triangle és rectangle si, i només si, la suma dels quadrats dels dos costats més petits (catets) és igual que el quadrat del costat llarg (hipotenusa). h^2 = a^2 + b^2.

(Imatge: mètode tradicional amb la corda tancada de 12 nusos per construir angles rectes.)

10. La desigualtat triangular (Euclides, s. IV aC)

Quan tenim una certa pressa i travessam un carrer sense semàfor, t’has fixat com ho feim? Ho feim de manera perpendicular al traçat del carrer (tal i com ho faria un pas de vianants)? Per què?

La desigualtat triangular afirma que en un triangle qualsevol, la suma de dos costats és sempre major que el tercer costat. En realitat, aquesta propietat és una conseqüència directa del fet que, en la geometria d’Euclides, la recta és el camí més curt entre dos punts. Això també vol dir que, donats tres nombres (a, b, c) aquests no podran formar un triangle si a+b és menor a c.

(Imatge: CentMat, Google Earth)

11. La suma dels angles d’un triangle

Hi ha propietats geomètriques que sorprenen per la seva senzillesa i universalitat. Recordes què val la suma d’angles interiors d’un triangle? I la d’un quadrilàter?

Una de les primeres propietats geomètriques que estudiam a l’escola és aquella que diu que els angles interiors d’un triangle sumen, sempre, 180º. Euclides ja recollí aquesta proposició, fa més de 2300 anys, amb el nombre XXXII del primer llibre. S’han trobat diverses demostracions d’aquesta idea, totes elles ben senzilles. Si ampliam el nombre de costats d’una figura poligonal i la dividim en triangles, tendrem una bona manera des saber què val la suma dels angles interiors de qualsevol polígon.

(Imatge: CentMat)

12. El tetraedre (Plató, 360 aC)

Quines poliedres (figures geomètriques de tres dimensions amb les cares planes) coneixes que estiguin formades només per triangles?

Si atenem a l’etimologia del mot, tetraedre vol dir figura geomètrica de quatre cares (del grec tetra = quatre i edron = cara). El tetraedre regular és aquell que està format per quatre triangles equilàters. És el més senzill dels 5 poliedres platònics i també pot ser vist com una piràmide de base triangular. En el diàleg Timeu, Plató associa el tetraedre a l’element Foc. Els altres tetraedres possibles, no regulars, també estaran formats -necessàriament- per triangles que no seran regulars.

(Imatge: fons SBM-XEIX)

13. La fórmula d’Heró (s. I dC)

Calcular l’àrea d’un rectangle és una tasca relativament senzilla: basta multiplicar la base per l’alçada. Recordes les fórmules per a calcular les àrees d’altres figures geomètriques?

Sembla factible la hipòtesi que l’agrimensura (literalment la mesura del camp) hauria nascut a Egipte per repartir i reconèixer els bocins de terra cultivable abans i després de les inundacions anuals del Nil al seu delta. Els terrenys se solien marcar (i encara ara) amb fites, pedres més o menys grans que es posaven als vèrtexs del polígon corresponent. Com que qualsevol polígon es pot descompondre en triangles, la fórmula d’Heró per a calcular l’àrea només a partir dels tres costats és molt útil i còmoda. A = on «s» és el semiperímetre i a, b i c els tres costats del triangle.
(Imatge: Google Earth)

14. Enrajolar amb triangles (0)

Moltes vegades, quan trobam un baixant en el nivell de la vorera d’un carrer, les rajoles que el recobreixen estan tallades en forma de triangle. Sabries dir per què?

Si fixam tres punts a l’espai, aquests defineixen sempre un pla. Això vol dir que si anam marcant punts sobre qualsevol superfície corba, podem resseguir aquesta superfície amb triangles plans (no necessàriament de la mateixa forma ni grandària). Com més petits siguin els triangles, més semblant serà la superfície polièdrica resultant a la superfície original. Una altra conseqüència d’aquesta propietat és que les cadires o les escales de tres peus mai no es belluguen, sigui com sigui el terra.
(Imatge: CentMat)

15. Triangles i bastides

T’has fixat que en les bastides de les obres, a part de les peces verticals i peces horitzontals, sempre hi ha barres en diagonal que formen triangles? Sabries dir per què? Per què les torres d’alta tensió tenen també tot un conjunt de triangles?

Una bastida no és més que un conjunt de barres rectilínies unides pels extrems. Per tant, les peces de les bastides van formant polígons que, en la majoria dels casos, són rectangles. Si la unió d’extrems arriba a permetre un cert moviment (perquè els perns s’afluixen, per exemple), el rectangles es poden convertir en romboides i aquest fet fa perillar l’estabilitat de la bastida i la seguretat de les persones que hi feinegen. El triangle és l’únic polígon indeformable. És a dir, donades tres barres d’una longitud determinada, el triangle que poden formar és únic.
(Imatge: CentMat)

16. Els nombres triangulars

Si dues persones es volen saludar ho poden fer amb una encaixada de mans. Si tres persones es volen saludar totes amb totes, també amb una encaixada de mans, quantes se’n faran? I quatre persones? I cinc?...

Hi ha moltes situacions en què és necessari sumar els nombres naturals consecutius des de l’1 fins a un nombre determinat. S’atribueix a Gauss el mètode senzill i bo d’entendre de sumar el primer amb el darrer, el segon amb el penúltim... perquè aquest mètode té resultats constants i, al final, com què en realitat hem sumat tots els nombres dues vegades, simplement hem de fer la meitat. La fórmula seria: 1+2+3+4+ ... +n = (1+n).n/2 Aquests nombres s’anomenen triangulars perquè es poden distribuir, si pensam en peces esfèriques, formant un triangle equilàter.
(Imatge: nombre triangular de nivell vuit = 36, CentMat)

17. La música del triangle

Hi ha hagut èpoques en què la música era una activitat prohibida. Sabries trobar l’instrument musical anomenat triangle en el famós quadre d’El Bosco «el jardí de les delícies»?

El triangle és un instrument metàl·lic de percussió fabricat normalment d’acer. La seva forma actual és la d’un triangle equilàter una mica obert per un dels seus vèrtexs (i, per tant, realment, se n’ha eliminat un vèrtex) tot i que antigament podia presentar volutes, formes trapezoidals, etc. Habitualment, el músic sosté el triangle amb un fil de nylon per un dels seus vèrtexs i el colpeja amb una vareta també de metall. Segons l’efecte que es vulgui aconseguir, el triangle pot ser colpejat de moltes maneres (per dins, per fora, repetidament a l’interior d’un vèrtex...). Com instrument, fou incorporat a l’orquestra devers el s. XVIII i acompanya algunes de les introduccions de l’himne a l’alegria en el 4t moviment de la 9a simfonia de Beethoven.
(Detall de El jardí de les Delícies de El Bosco. Oli sobre fusta (ca. 1500-1505), Museo del Prado)

18. El triangle de Pascal

Blaise Pascal és el paradigma d’una persona sàvia que s’interessa per tot. Una de les seves sentències diu que val més saber alguna cosa de tot, que saber-ho tot d’una sola cosa. Fou un gran matemàtic que cultivà també... sabries dir quines altres disciplines?

El triangle de Pascal és una distribució numèrica, molt senzilla de construir, que presenta una superfície triangular de nombres. Aquests nombres s’obtenen, de dalt per avall, sumant sempre els dos superiors (els extrems de línia són sempre 1). El resultat és, en realitat, el conjunt de coeficients binomials que tenen aplicació en combinatòria, àlgebra, teoria fractal... i altres camps. Pascal estudià en profunditat aquest triangle que ja coneixien, prou temps abans, indis, xinesos o, fins i tot, europeus.
(Imatge: CentMat)

19. Persecució triangular (1655)

Què passaria si tres persones es col·loquen sobre el vèrtexs d’un triangle equilàter i cada una es va movent al mateix temps per perseguir la que té a la seva esquerra?

El camí que descriuria cada una d’elles seria el mateix i s’anomena, precisament per la manera en què es genera, corba de persecució. Quan aquestes estan inserides en un polígon regular donen lloc a espirals logarítmiques. Aquest tipus de corba ja fou plantejada per Descartes però va ser Jacob Bernoulli qui les estudià en profunditat i les anomenà spira mirabilis, per la propietat que el pendent de la corba és constant en qualsevol punt. Això fa que qualsevol part de l’espiral sigui autosemblant a qualsevol altra part de la mateixa. Jacob Bernoulli va demanar que li fos gravada a la seva tomba, però el gravador es va errar i li va posar una espiral arquimediana.
(Imatge: CentMat)

20. Escaire i cartabó
Quins són els estris de dibuix tècnic més emprats? Dos d’ells presenten forma triangular.
Sabries identificar-los? Com ho faries per mesurar-ne els angles?
Quan parlam que una cosa fa escaire volem dir que l’angle que formen els seus costats és de 90º. Per això, els dos estris de dibuix més habituals (a part del regle i el compàs) que tenen forma triangular es poden dir escaires. Però el fet que un d’ells sigui especial perquè, a més, també presenta dos costats iguals -i per tant és isòsceles- fa que rebi un nom particular i, per això, es diu cartabó. En el cas de l’escaire, els angles aguts que presenta són de 30 i 60o. Aquesta terminologia d’escaire i cartabó apareix, sovint, girada per mor que en llengua castellana els mots semblants identifiquen els estris canviats.

(Imatge: CentMat)

21. Els diagrames ternaris (s. XVII)

Imagina que vius en una illa que és un triangle equilàter perfecte. Si cada dia haguessis d’anar i tornar de cada una de les tres voreres pel camí més curt possible, on te convendria viure per fer el mínim de recorregut total?

Vincenzo Viviani fou un savi florentí, deixeble de Galileu, que, entre d’altres coses, demostrà el teorema que porta el seu nom: en un triangle equilàter, la suma de distàncies d’un punt interior als tres costats és constant i igual a la longitud del costat. Aquest teorema es extrapolable a qualsevol polígon regular. Una aplicació la trobam en la realització dels diagrames ternaris de composició. Cada punt interior del triangle representarà una mescla possible, en percentatge, de tres components que, per tant, sumaran sempre el 100%.
(Imatge: CentMat)

22. La recta d’Euler (1750)

Imagina que anam canviant de posició els vèrtexs d’un triangle el qual, per tant, anirà canviant de forma, de superfície, etc. Sabries dir algunes característiques que no deixaran de complir-se per molt que el modifiquem?

En qualsevol triangle podem definir quatre punts singulars. El circumcentre, que és el punt on es tallen les mediatrius dels tres costats (i que ens dona el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtexs). El baricentre, que és el punt on es tallen les tres mitjanes (i que és també el centre de gravetat del triangle). L’incentre, que és el punt on es tallen les tres bisectrius (i que és també el centre de la circumferència inscrita en el triangle). I l’ortocentre, que és el punt on es tallen les altures. A mitjans del s. XVIII, Leonhard Euler descobrí que l’ortocentre, el baricentre i el circumcentre estaven sempre alineats, fos quin fos el triangle.
(Imatge: CentMat, GeoGebra)

23. La triangulació geodèsica

Abans que disposàssim d’imatges aèries, com es podien fer plànols a escala? Com es podien calcular les distàncies enmig de la mar?

La triangulació és la tècnica mitjançant la qual es poden fer plànols de regions molt grans mesurant només els angles de triangles que ocupin aquesta superfície. La feina consisteix en localitzar punts singulars, normalment del relleu natural (cims, caps, colls...) però també arquitectònics (castells, torres, molins...) i unir-los de manera que la superfície quedi recoberta per triangles encadenats. Després, es mesuren in situ tots i cada un dels angles i, finalment, es fa la mesura precisa de longitud d’un dels seus segments (normalment dos, per comprovar la bonança dels càlculs). Aquesta és la tècnica que feu servir, per exemple, François Arago quan conclogué la mesura del meridià de París a Mallorca el maig de 1808.
(Imatge petita: plànol de la triangulació de 1806-1808. Bigourdan, Observatori de París)

24. Triangles esfèrics (1800 aprox.)

Podem dibuixar un triangle sobre una esfera? Com seran llavors els seus costats? I la suma d’angles, seguirà sent de 180º?

Si, sobre el pla, podem definir un triangle com el resultat d’unir tres punts amb les línies més curtes, les rectes, sobre una superfície esfèrica, anomenarem triangle al resultat d’unir tres punts pel camí més curt. Aquest camí s’anomena geodèsica (o circumferència màxima) i és la línia que quedaria a la superfície si tallàvem l’esfera amb un pla que passàs pels dos punt a unir i pel centre de l’esfera. El més curiós és que la suma d’angles en aquest cas serà sempre superior a 180º.
(Imatge petita: plànol de la triangulació de 1806-1808. Bigourdan, Observatori de París)
(Imatge: triangle esfèric amb tres angles de 90º, CentMat)

25. El triangle de Reuleaux (aprox. 1850)

Sembla que la roda podria haver estat inventada a partir de la idea de fer lliscar blocs de pedra sobre cilindres de fusta. I si, en comptes de cilindres, hi col·locàvem troncs de secció més o menys triangular. Podria anar bé?

Podem construir l’anomenat triangle de Reuleaux a partir d’un triangle equilàter, traçant els arcs de circumferència que uneixen cada parell de vèrtexs amb centre al tercer vèrtex. La figura construïda té la propietat que la seva alçada és constant. Dit d’una altra manera, la distància mínima entre dues línies paral·leles que contenguin el triangle de Reuleaux és constant. És a dir, sobre els triangles de Reuleaux es pot fer lliscar una planxa o superfície de manera que aquesta no canviarà d’alçada durant el recorregut.
(Imatge: triangles de Reuleaux a la Seu de Mallorca. CentMat)

26. El triangle de Sierpiński (1915)

Què passaria si seguíssim fent iteracions com les de la imatge fins a l’infinit? Quanta tinta gastaríem per fer el dibuix final?

El triangle de Sierpiński és un objecte geomètric que fou concebut pel matemàtic polonès Waclaw Sierpiński l’any 1915. La seva construcció és un procés d’iteració infinit que consisteix en repetir unes passes molt senzilles. Donat un triangle equilàter negre, es divideix en 4 triangles equilàters més petits. Després s’elimina el triangle central i, com que queden tres triangles equilàters negres, es repeteix l’operació en cada un d’ells, i així successivament de manera infinita. Aquesta idea d’autosemblança fou sistematitzada i definida durant els anys 70 amb el nom de fractal pel matemàtic també polonès Benoît Mandelbrot.
(Imatge: CentMat)

27. El camp d’extermini de Sachsenhausen (1936)

Quants recintes urbans coneixes que tenguin forma triangular? Per què penses que el camp de concentració nazi de Sachsenhausen presenta aquesta geometria?

Segons expliquen els guies, els nazis havien fet proves amb ratolins sobre la influència que podia tenir la forma del tancat sobre els animals i havien descobert que la geometria triangular els feia més por, és a dir, provocava que s’agrupassin al centre, lluny de les voreres. El camp de concentració de Sachsenhausen es troba a la població d’Oranienburg, 35 km al nord de Berlín. Estigué actiu des de 1936 fins a 1945 i en ell hi va estar presoner el primer ministre de la II República Espanyola, Francisco Largo Caballero, i hi fou executat el fill major de Joseph Stalin, Yakov Dzhugashvili. Actualment es pot visitar com a Memorial.
(Imatge: Google Earth)

28. Les ales Delta

T’agrada fer avions de paper? Quina forma tenen els més senzills de tots? Te pareix que és una bona geometria per a volar?

En grec, la lletra equivalent a la nostra D s’anomena delta i el símbol per a la seva versió majúscula és un triangle (D). D’aquí el nom del giny volador conegut com ala delta ja que té, aproximadament, la forma d’un triangle. Les ales delta modernes començaren a desenvolupar-se a finals del s. XIX i el pilot aconsegueix controlar el vol, amb l’ajut de corrents d’aire ascendents, desplaçant el seu cos (i per tant, el centre de gravetat) a través d’un balancí d’alumini que té, també, forma triangular.
(Imatge: creative commons: www.pixnio.com)

29. El triangle de les Bermudes

Has sentit parlar del triangle de les Bermudes? Sabies que també és conegut com el triangle del Diable? Sabries explicar per què?

Des de mitjans de segle XX, a la zona que abraça des de l’illa de Costa Rica, la punta sud de la península de Florida i les illes Bermudes, se la coneix amb el nom del triangle de les Bermudes. Es tracta d’una superfície marítima de 4 milions de quilòmetres quadrats a l’est d’Amèrica Central, dins l’oceà Atlàntic. Aquesta denominació fou encunyada després que alguns periodistes començassin a parlar d’una zona on avions i vaixells desapareixien sense cap causa coneguda. Davant la fama que va guanyar la zona, la guarda costera d’EEUU realitzà un seguiment i arribà a la conclusió que no es produïen més accidents per unitat de superfície que qualsevol altra zona estriada a l’atzar.
(Imatge: Google Earth)

30. Cúpules geodèsiques

Quins avantatges tenen les cúpules front a les construccions tradicionals fetes a força de columnes o pilars i plans horitzontals? Quins desavantatges poden presentar?

Anomenam cúpules geodèsiques aquelles estructures més o menys semiesfèriques desenvolupades a partir d’un políedre de cares triangulars. El fet que les cares siguin triangles, és imprescindible perquè l’estructura no se plegui i sigui rígida. La primera cúpula geodèsica fou construïda després de la primera Guerra Mundial per allotjar el projector d’un planetari. Si miram les figures que formen els triangles d’una cúpula geodèsica, veurem que en general són hexàgons però que també hi ha, de tan en quant, pentàgons. Llevat dels políedres platònics de cares triangulars (tetraedre, octaedre i icosaedre), no es pot fer una cúpula geodèsica completament uniforme.
(Imatge: cúpula geodèsica del British Museum. Norman Foster, 2000, CentMat)

31. Veles de vaixell

Navegar a vela pot ser una experiència ben agradable. Els vaixells que les fan servir, presenten diferents siluetes en funció de la seva antiguitat. Sabries dir quins tipus de triangle hi apareixen?

La navegació a vela és un dels grans invents de la humanitat. Els primers habitants de les Balears -fa uns 5000 anys- hi arribaren, necessàriament, així. L’embarcació tradicional de les illes és el llaüt. L’aparell que porta s’anomena vela llatina i és un triangle acutangle. En canvi, les embarcacions modernes del tipus balandre porten aparell Marconi, que és un triangle rectangle format pel pal principal i la botavara.
(Fotografia: Rafael Blanc Bofarull, far i torre de cala Figuera, Calvià)

32. Tessel·lats triangulats d’Escher

Tots hem vist centenars d’espais enrajolats amb quadrats però, es pot enrajolar el trespol d’una habitació amb triangles? Ho has vist alguna vegada? Per què deu ser?

Mauritius Cornelius Escher fou un artista i dibuixant neerlandès, del s. XX, que és recordat per la seva imaginació. Moltes de les seves idees i creacions són presents a multitud d’àmbits com els de la ciència, la publicitat, els jocs, etc. Conten que la primera visita que realitzà a l’Alhambra de Granada el va impactar tant, que dedicà moltes hores al tema dels tessel·lats. El 1955 realitzà la litografia titulada «Liberation» on un tessel·lat triangular es va transformant progressivament en un gran esbart d’aucells.
(Imatge: Bevrijding (Liberation) d’M.C. Escher. © The M.C. Escher Company)

33. El triangle de Reutersvärd

És possible, en l’espai tridimensional en el que ens movem, construir un triangle amb els tres angles rectes?

El 1934, l’artista suec, Oscar Reutersvärd va fer un dibuix que ens empeny a visualitzar un triangle format per tres llistons de secció quadrada units en angle recte. L’artista neerlandès Mauritius C. Escher feu ús d’aquesta il·lusió òptica en el seu gravat Waterfall. Aquest triangle impossible fou estudiat en profunditat i popularitzat pel físic i matemàtic anglès, Roger Penrose, durant els anys 50, de tal manera que la gent el coneix amb el seu nom. A partir del dibuix original, s’han creat moltes anamorfosis tridimensionals, és a dir, objectes que mirats des d’un punt concret, semblen formar la figura impossible. Les cares laterals així enllaçades formen una gran banda de Möbius que es completa fent 4 voltes al triangle.
(Imatge: CentMat)

34. Cediu el pas

Quines figures geomètriques recordes que es facin servir com a base per als senyals de trànsit? Té algun significat especial el triangle en aquest codi de circulació?

Els senyals de trànsit són símbols anomenats verticals (encara que els també els trobam pintats a terra) que ens proporcionen informacions, avisen de prohibicions, fan recomanacions, etc. En general, aquests senyals eviten les paraules i fan servir símbols gràfics més internacionals. N’hi ha dos molt especials, que són l’STOP, l’únic de forma octogonal, i CEDIU EL PAS, l’únic triangle que té un vèrtex per avall. Aquesta singularitat fa que poguem identificar el senyal fins i tot des de la part del darrere, cosa molt important en un encreuament.
(Foto: CentMat)

35. La successió de Hans van der Laan
L’espiral és una forma habitual de l’entorn. Sabries localitzar una espiral de l’ordre d’1 cm, una altra que tengui alguns dm, una altra d’alguns centenars de quilòmetres, i una altra de milers d’anys llum?
L’arquitecte i monjo benedictí Dom Hans van der Laan (1904-1991) es va plantejar quina era la proporció mínima entre dues mides, de manera que les poguéssim captar clarament com a diferents. A partir d’estudis com aquest, va definir la successió que porta el seu nom (coneguda també amb el nom de Podovan, arquitecte nascut el 1935 que va estudiar l’obra de Laan). En aquesta successió, una vegada definits els tres primers termes (a1=0, a2=1, a3=1), els termes següents s’obtenen a partir d’aquesta llei de recurrència: an = an-2 + an-3. La relació entre un terme i l’anterior, a mesura que progressa la successió, tendeix a una constant que rep el nom de nombre plàstic. El valor d’aquesta constant és proper a 53/40, concretament, el valor real de l’equació x3 = x + 1. (El nom de nombre plàstic no té
res a veure amb el material sintètic, sinó amb la seva relació amb les arts plàstiques.)

(Imatge: espiral de van der Laan, CentMat)

36. El triangle cognitiu

Quan ens trobam davant alguna situació difícil, què pensam? Què sentim? Com reaccionam? Quina d’aquestes tres coses és primer?

Durant els anys 60, dins el camp de la psicoteràpia, es desenvolupà als EEUU la Teràpia o Estimulació Cognitiva, que estudia, esquematitza i prova de millorar la nostra relació amb els estímuls exteriors a partir de l’anomenat Triangle Cognitiu. Aquest triangle està format per tres vèrtexs que són: els pensaments, els sentiments i els comportaments. Aquest model cognitiu estableix que totes tres coses estan íntimament lligades i que, coneixent-les, podrem modificar-les per al nostre benefici.
(Imatge: espiral de van der Laan, CentMat)

37. La piràmide ecològica

Si feim cas a l’etimologia de la paraula, ecologia és l’estudi de les cases, dels habitatges (del grec oikos=casa i logos=estudi). Sabries dir en quin segle va ser encunyat el terme ecologia? És el mateix ecologia que ecologisme?

La piràmide ecològica és un recurs gràfic i didàctic (moltes vegades dibuixada simplement com un triangle) per visualitzar quines són les relacions en l’intercanvi d’energia i matèria entre els éssers vius. Així, en el nivell més baix, a la base, hi trobam els productors, aquells organismes que poden fabricar el seu aliment a partir de la matèria inorgànica i l’energia solar (bàsicament, algues i plantes). En el nivell següent hi ha els consumidors primaris o herbívors, que s’alimenten exclusivament de productors. Els nivells superiors són ocupats per les espècies insectívores, carnívores, omnívores... Les piràmides ecològiques poden focalitzar l’atenció en el traspàs d’energia (energètiques), de matèria (tròfiques), o de nombre d’individus (numèriques).
(Imatge: piràmide tròfica, Bioescola, Barcelona)

38. La piràmide alimentària

Quin és el teu plat preferit? Quin és el tipus d’aliment (hortalisses, carn, fruita, peix, llet...) que prens més vegades al dia? Quins petits (o grans) canvis en la teva alimentació penses que serien beneficiosos per a la teva salut a llarg termini?

La piràmide alimentària és un recurs gràfic i didàctic (moltes vegades dibuixada simplement com un triangle) per visualitzar quina és la millor relació, en termes de quantitat i freqüència, dels diferents grups d’aliments que ingerim. Habitualment la piràmide es divideix en tres nivells. El nivell més baix, i per tant el més ample i gran, conté els aliments que s’han de prendre en més quantitat, és a dir, diàriament. En el segon nivell hi trobam els aliments que s’han de prendre setmanalment i que, per tant, també són necessaris. En el vèrtex superior, que és el pis amb menys espai, hi trobam aquells aliments prescindibles que només s’han de consumir ocasionalment.
(Imatge: Generalitat de Catalunya, Canal Salut)

39. Batalla espacial

Coneixes alguna poesia de contingut matemàtic? Sabies que la premi Nobel de literatura Wisława Szymborska (Polònia) té un poema dedicat al nombre pi?

Roberto Piumini és un pedagog i escriptor italià, conegut sobre tot per la seva obra adreçada al públic infantil, però que ha escrit per a totes les edats. En el poema Batalla espacial, l’autor (i el traductor en la versió catalana) han tengut l’encert de jugar amb les paraules triangle i quadrat a partir de la seva semblança fonètica amb les paraules de personatges mitològics com l’àngel i el drac. Les característiques matemàtiques de les figures geomètriques són emprades amb mestria per construir un relat meravellós.
(Batalla espacial, poema de Roberto Piumini traduït al català per Miquel Desclot)

40. El triangle al cinema

No és molt difícil, per a una persona aficionada al cinema, recordar alguns títols que contenguin explícitament termes matemàtics. Series capaç de recordar-ne alguns?

Triangle és una pel·lícula britànica estrenada l’any 2009 del director i guionista, Christopher Smith. Els seus protagonistes són Melissa George i Michael Dorman. Classificada dins el gènere de suspens i terror, ambientada a la mar, la trama deixa anar també algunes reflexions metafísiques sobre la idea del temps i ha estat molt ben valorada per la crítica internacional. Les referències a the shining (el resplandor) de Kúbrick són paleses al llarg de tota la cinta. És curiós que una altra pel·lícula del suec, Ruben Östlund, titulada Triangle of Sadness (el triangle de la tristesa), una comèdia satírica d’humor negre, estigui ambientada també a la mar.
(Cartell de la pel·lícula Triangle, Christopher Smith, 2009)

41. Urbanisme i triangles

Quina diries que és la figura geomètrica més utilitzada per a una illeta de cases a l’hora de traçar un pla urbanístic? Quina diversitat de formes podem trobar a les places de les ciutats? Se t’ocorre algun lloc amb forma triangular?
En ciutats antigues, les figures geomètriques que presenten les illetes de cases són fruit d’un creixement poc planificat i, per tant, en general, irregular i divers. Però en traçats lineals més o menys moderns, en la confluència de barris... és relativament bo de fer trobar espais triangulars. Serveixin d’exemple el municipi Trianglen, de Copenhagen, Trianglen, un barri del comtat de Prince William, a l’estat de Virgínia (EEUU), les places Triangulars de Màlaga, de Múrcia, de Benidorm o del Port (Girona), la placeta triangular de València, la placeta d’en Ramon i d’en Panzo de Santa Margalida, etc.
(Imatge: castell de Capdepera, Mallorca. Google Earth.)

42. Cases triangulars

A l’hora de pensar en una casa o en un edifici, quina és la figura geomètrica que ens ve primer al cap? Pots imaginar algunes cases que no segueixin aquest patró?

El rectangle és la figura omnipresent en els habitatges humans de pobles i ciutats. El fet que l’angle recte encaixi amb la majoria d’objectes que construïm, també rectangulars, és un dels motius que justifica la seva aclaparadora presència. Només en el cas de les teulades, com a recurs per evacuar l’aigua de pluja, apareix, amb una certa freqüència, la forma triangular. Hi ha, emperò, empreses i dissenys arquitectònics que duen el triangle a la seva màxima expressió amb resultats sorprenents. Potser perquè recorden aquelles tendes de campanya primigènies...
(Imatge: Wikimedia commons)

43. Ritmes de Joan Lacomba

Has jugat alguna vegada a emplenar de colors el conjunt de superfícies blanques d’una superfície retxada de manera que, en fer-ho, apareix un dibuix que abans no es podia apreciar?

Durant els anys 70, l’artista mallorquí i multidisciplinar, Joan Lacomba (1934-2022), realitzà tota una sèrie d’obres que marcaren aquella època sota el títol genèric de ritmes. En aquestes pintures, Lacomba traçava sobre llenç o paper línies d’una sola i suau curvatura, les interseccions de les quals aconseguien recrear les figures que l’artista imaginava. L’ús premeditat de tonalitats càlides o fredes, confereix a les obres una especial sensació de profunditat. La manera de gestar aquestes obres fa que en elles hi apareguin, amb molta freqüència, projeccions planes de triangles esfèrics.
(Imatge: Violoncel·lista embarassada. © Joan Lacomba. 90 x 116 cm, Oli sobre tela. Amb permís.)

44. Gregory Dubus: l’elogi al triangle

Quin és l’objectiu final de l’art? Per què, a principis del s. XX, va sorgir el corrent artístic anomenat art abstracte? Què et diu aquest quadre?

Gregory Dubus és un artista francès, autodidacta, que produeix obres abstractes geomètriques de traç meticulós, inserides sempre dins una malla triangular, amb simetries o sense, i que ell mateix anomena Art Triangle. És un art -per fer servir les seves paraules- que cerca l’equilibri harmònic entre espontaneïtat i planificació, entre simplicitat i complexitat, entre monotonia i diversitat...
(Imatge: un retrat de l’artista i el seu autoretrat. © Gregory Dubus. Amb permís.)

45. Els triangles d’Okuda San Miguel

Per què és habitual, com en el cas de la pintura de Joan Miró, que quan un artista utilitza colors vius i superfícies d’un sol color

Okuda San Miguel és un artista càntabre l’obra del qual presenta un ús exhaustiu de la figura triangular. Són característics, en gran part de la seva obra, els polígons estrellats i les superfícies triangulades. Les superfícies i combinacions de colors vius que s’hi apliquen, són una referència explícita al pop art. Una altra de les fonts de la que beu la seva obra és l’art urbà.
(Imatge: Kaos Star – Artmosphere – Gorky Park, Moscou. © Okuda San Miguel. Amb permís.)

46. L’univers de Sengai Gibon

Per què creus que l’artista japonès del s. XVIII, Sengai Gibon, va fer aquesta obra? Coneixes alguna representació moderna d’aquestes tres figures geomètriques que surti habitualment en els mitjans electrònics?

Sengai Gibon fou un monjo budista zen que ens va deixar aquesta obra sense cap títol ni anotació, fora de la seva signatura. És feta amb un pinzell sobre paper, carregat de tinta només una vegada i, per això, el traç del cercle, del triangle i del quadrat és, progressivament més dèbil. Ens podríem demanar sí és un exercici de cal·ligrafia o de pintura, però ell mateix digué que no era, en realitat, cap de les dues coses. Habitualment, s’ha titulat l’obra com «L’Univers».
(Imatge: L’Univers, de Sengai Gibon. Tinta sobre paper d’arròs. Wikimedia commons)