Corones de garballó

(6è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

A Mallorca, els cordats de cadires i tibulets es feia habitualment amb corda de garballó (Chamaerops humilis). La palma tendra d’aquesta petita palmàcia, l’única pròpia de les Illes Balears, era obrada normalment per dones -però també homes- majors a casa. Fa uns anys encara quedaven artesanas a s’Arracó, Artà, Capdepera...

Els tibulets són petits espais on la cultura popular hi va desenvolupar una geometria senzilla. Alguns dels cordats s’anomenen espina de peix, gra d’ordi o, com és el cas de la fotografia, mirallet.

Des d’un punt de vista matemàtic, els dibuixos d’un tibulet es poden codificar fàcilment a partir del codi binari, perquè en realitat, per a cada punt d’intersecció de corda només cal saber si la tirada horitzontal (per exemple) va per damunt o per davall. És a dir,1 o 0.

Si ara miram el quadradet central, podem fer-nos la pregunta de quants quadradets com aquest tendran les corones successives que l’envolten, com les que estan destacades a la imatge següent (el punt central, per tant, no el considerarem corona).

Es tracta d’un senzill però interessant exercici de relació entre geometria i aritmètica. Com quasi sempre, tenim diverses maneres d’arribar-hi. La primera, comptant. El nombre de quadradets que tenen les corones successives és 8, 16, 24, 32... és a dir, la taula del 8. En llenguatge algebraic, 8n.

Ara podem pensar cada corona com a formada per quatre rectangles. Llavors, el nombre de quadrats el podrem comptar com la taula del quatre però agafant només els nombres parells. O sigui, 4.(2n)

Per tant, efectivament, 8n = 4.(2n). I ara encara podem pensar cada corona com la resta d’un quadrat menys el de dintre, tenint en compte que els quadrats de referència seran només els dels nombres senars (2n+1) començant pel quadrat de 3.

Caldrà acceptar, per tant, que la taula del vuit es pot generar com a diferència del quadrats consecutius dels nombres senars. És a dir, que