Una estrella de 15 puntes?

En uns grans magatzems em sorprèn aquest coixí. Una mena d’estrella de 5 puntes per triplicat. Sens dubte, una magnífica idea i una bona font de preguntes. Per començar... es pot fer amb un sol fil? I si fos de 6 puntes, també es podria fer per triplicat? Si giram el coixí, tendrem la mateixa figura? Anem a pams.

El pentacle o estrella de 5 puntes.

És un joc habitual entre els més petits, proposar que dibuixin l’estrella de 5 puntes d’un sol traç sense repetir cap línia. És allò que en topologia s’anomena camí eulerià (pel famós problema dels ponts de Königsberg resolt pel matemàtic suís Euler). La solució és gairebé trivial.

Però abans d’abordar el problema del coixí, serà bo veure què passa si provam de repetir l’estrella només dos pics, seguin un ordre homogeni en el pas del fil per sobre o per sota. En aquest cas, una imatge és gairebé imprescindible.

Suposem que hem començat el camí per A. Quan hauríem tancat la primera estrella, llavors seguirem el camí interior, per B (també haguéssim pogut anar per l’exterior i el raonament no canviaria). Llavors, en completar la segona estrella, veiem que el darrer cap (C) queda a l’exterior, com A, de manera que podem connectar els dos extrems i fer el pentacle doble d’un sol traç (un traç tridimensional i homogeni, és clar). És important tenir present que si anam per l’interior del primer traç, acabam a l’exterior del segon.

Podríem doncs, fer una volta més i enllaçar el primer cap amb el darrer? Tornem a mirar la imatge...

Suposem que decidim continuar C per l’exterior d’A (el cap d’A quedarà llavors enmig de dos fils). El final de la primera volta d’A, és el punt B. Seguint el que hem vist en el cas de dues voltes, sabem que si hem començat per l’exterior, ara serem a l’interior de B, com efectivament veiem que passa, de manera que NO podrem connectar els dos caps. El mateix passaria si haguéssim començat per l’interior d’A.

Per tant, com podríem fer aquest coixí? Se m’ocorren dues maneres:

 Fer una estrella doble amb un fil i fer una estrella simple amb un altre fil, que anàs pel mig dels dos, de manera que els passos per sobre i per sota també serien alterns i homogenis.
 O bé, que és el que ha decidit el fabricant, unir els dos caps inicial i final passant per damunt de B, en un pas que treu la homogeneïtat al coixí, tal i com es pot veure a la imatge.

Anem a la segona pregunta. Es podria fer una estrella de 6 puntes? El fet que el nombre de puntes sigui parell, impedeix seguir la idea de recórrer totes les puntes de forma alterna. És a dir, en la de 5 puntes, el fil va traçant successivament la 1a punta, la 3a i la 5a, en una primera volta, i la 2a i la 4a en una segona volta, de manera que en tancar el primer cicle, en haver fet dues voltes, les ha recorregut totes. Si el nombre de puntes és parell, la primera volta passarà per les puntes d’ordre imparell, però la volta següent ho tornarà a fer, de manera que no és podria construir.

Respecte de la pregunta de què veurem si giram el coixí, la resposta és que veurem el mateix, fins i tot amb la petita "trampa" del fabricant en la mateixa disposició. Això vol dir que si la tela fos absolutament uniforme, no podríem saber quina de les dues cares estam mirant sense marcar-ne una.

Però si quan hem fet la trunyella haguéssim invertit els passos de "sobre" i "sota", llavors hauríem tengut la imatge especular del coixí, que en realitat tendria la mateixa estructura però no seria superponible. Allò que en química s’anomena quiralitat en referència al cas de les mans. En aquest cas, sí que podríem distingir un coixí de l’altre però, en qualsevol cas, una vegada fabricat, seguiríem sense poder distingir les seves dues cares.