Inici > Cultivar la mirada matemà tica > Una estrella de 15 puntes?
Una estrella de 15 puntes?
dimarts 4 d’agost de 2020, per
Etiquetes:
En uns grans magatzems em sorprèn aquest coixÃ. Una mena d’estrella de 5 puntes per triplicat. Sens dubte, una magnÃfica idea i una bona font de preguntes. Per començar... es pot fer amb un sol fil? I si fos de 6 puntes, també es podria fer per triplicat? Si giram el coixÃ, tendrem la mateixa figura? Anem a pams.
El pentacle o estrella de 5 puntes.
És un joc habitual entre els més petits, proposar que dibuixin l’estrella de 5 puntes d’un sol traç sense repetir cap lÃnia. És allò que en topologia s’anomena camà eulerià (pel famós problema dels ponts de Königsberg resolt pel matemà tic suÃs Euler). La solució és gairebé trivial.
Però abans d’abordar el problema del coixÃ, serà bo veure què passa si provam de repetir l’estrella només dos pics, seguin un ordre homogeni en el pas del fil per sobre o per sota. En aquest cas, una imatge és gairebé imprescindible.
Suposem que hem començat el camà per A. Quan haurÃem tancat la primera estrella, llavors seguirem el camà interior, per B (també haguéssim pogut anar per l’exterior i el raonament no canviaria). Llavors, en completar la segona estrella, veiem que el darrer cap (C) queda a l’exterior, com A, de manera que podem connectar els dos extrems i fer el pentacle doble d’un sol traç (un traç tridimensional i homogeni, és clar). És important tenir present que si anam per l’interior del primer traç, acabam a l’exterior del segon.
PodrÃem doncs, fer una volta més i enllaçar el primer cap amb el darrer? Tornem a mirar la imatge...
Suposem que decidim continuar C per l’exterior d’A (el cap d’A quedarà llavors enmig de dos fils). El final de la primera volta d’A, és el punt B. Seguint el que hem vist en el cas de dues voltes, sabem que si hem començat per l’exterior, ara serem a l’interior de B, com efectivament veiem que passa, de manera que NO podrem connectar els dos caps. El mateix passaria si haguéssim començat per l’interior d’A.
Per tant, com podrÃem fer aquest coixÃ? Se m’ocorren dues maneres:
Fer una estrella doble amb un fil i fer una estrella simple amb un altre fil, que anàs pel mig dels dos, de manera que els passos per sobre i per sota també serien alterns i homogenis.
O bé, que és el que ha decidit el fabricant, unir els dos caps inicial i final passant per damunt de B, en un pas que treu la homogeneïtat al coixÃ, tal i com es pot veure a la imatge.
Anem a la segona pregunta. Es podria fer una estrella de 6 puntes? El fet que el nombre de puntes sigui parell, impedeix seguir la idea de recórrer totes les puntes de forma alterna. És a dir, en la de 5 puntes, el fil va traçant successivament la 1a punta, la 3a i la 5a, en una primera volta, i la 2a i la 4a en una segona volta, de manera que en tancar el primer cicle, en haver fet dues voltes, les ha recorregut totes. Si el nombre de puntes és parell, la primera volta passarà per les puntes d’ordre imparell, però la volta següent ho tornarà a fer, de manera que no és podria construir.
Respecte de la pregunta de què veurem si giram el coixÃ, la resposta és que veurem el mateix, fins i tot amb la petita "trampa" del fabricant en la mateixa disposició. Això vol dir que si la tela fos absolutament uniforme, no podrÃem saber quina de les dues cares estam mirant sense marcar-ne una.
Però si quan hem fet la trunyella haguéssim invertit els passos de "sobre" i "sota", llavors haurÃem tengut la imatge especular del coixÃ, que en realitat tendria la mateixa estructura però no seria superponible. Allò que en quÃmica s’anomena quiralitat en referència al cas de les mans. En aquest cas, sà que podrÃem distingir un coixà de l’altre però, en qualsevol cas, una vegada fabricat, seguirÃem sense poder distingir les seves dues cares.