SBM-XEIX

T1 Ep.8 - Un problema de rondalla

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-18T13:45:24Z

Aquesta investigació pretén descobrir quina és la fórmula senzilla per calcular el número total d'ordenacions possibles i diferents d'un conjunt d'elements. És allò que en matemàtiques anomenam permutacions. (És important tenir en compte que sempre col·locam tots els elements, i que tots ells són diferents.)

A més, per fer-nos una idea del gran que pot arribar a ser aquest nombre, calcularem el temps que tardaríem en fer totes les ordenacions, per a cada cas, si en féssim una diferent cada segon fins exhaurir-les totes.

n= 1

Si només tenim 1 element, només tenim una possibilitat. P(1) = 1

n= 2

Si només tenim 2 elements (per exemple A i B), tendrem

AB, BA

Dues possibilitats. P(2) = 2

En realitat, hem de pensar que hem d'afegir un segon element a la única possibilitat que teníem amb un element. Aquest segon element, es podrà col·locar a la dreta o a l'esquerra. És a dir, 2x1.

n= 3

Introduïm ara un tercer element "C". Aquest podrà anar a l'esquerra, enmig o a la dreta de cada parella del cas anterior.

AB... CAB, ACB, ABC,
BA... CBA, BCA, BAC

Hem multiplicat per tres totes les possibilitats del cas anterior. Total, sis possibilitats. És a dir, 3x(2x1). Per tant, P(3) = 6

n= 4

Introduïm ara un quart element "D", que podrà anar a cada una de les quatre posicions possibles per cada ordenació anterior de tres elements.

CAB... DCAB, CDAB, CADB, CABD,
ACB... DACB, ADCB, ACDB, ACBD,
ABC... DABC, ADBC, ABDC, ABCD,
CBA... DCBA, CDBA, CBDA, CBAD,
BCA... DBCA, BDCA, BCDA, BCAD,
BAC... DBAC, BDAC, BADC, BACD

Hem multiplicat per quatre totes les possibilitats del cas anterior. Total, 4x(3x2x1). Si tenim 4 elements, tendrem doncs 24 possibilitats. P(4) = 24

n! (factorial d'n)

Si ens hi fixam, per calcular el nombre d'ordenacions d'un conjunt d'elements, s'ha de calcular el producte dels nombres naturals consecutius descendents a partir del nombre d'elements. En matemàtiques direm que calculam el factorial del nombre de partida i escriurem n!. És a dir:

5x4x3x2x1 = 5! (i es diu cinc factorial) Per tant, 5! = 120

7x6x5x4x3x2x1 = 7! (i es diu set factorial) Per tant, 7! = 5040

Els nombres factorials tenen un creixement sorprenent. Fixau-vos si no, en la taula següent que recull els factorials fins a 20 i el temps que tardaríem en fer per cada cas totes les ordenacions possibles si en féssim una cada segon.

Si ens hi fixam, veurem que el nombre d'ordenacions possibles de 20 elements (només 20 elements!) traduït a segons, és quasi 6 vegades la història de l'Univers. I cada història se estima en 13.500 milions d'anys.

En el cas dels 24 toms de les rondalles, el temps necessari per fer totes les ordenacions possibles a una per segon seria:

24! = 620448401733239439360000 s (aprox. 1 milió i mig d'històries de l'univers)

Increïble, no?

T1 Ep.7 - Un enigma rodó

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-15T07:30:28Z

Aquesta investigació pretén descobrir el fet que la divisió entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre dóna sempre el mateix resultat.

Com ben segur hauràs descobert, la divisió proposada dóna com a resultat, sempre, un nombre molt proper a 3,14...

El fet que no sempre surti exactament igual, es deu a dues coses:

Les mesures mai no són exactes (sempre hi ha un petit marge d'error)
Els cercles reals (dibuixats, construïts...) no són mai perfectes

Aquest nombre que surt -3,1415...- es coneix com a pi. El seu nom se sol escriure amb la lletra grega corresponent:

En el següent vídeo, pots veure com es pot fer la divisió geomètrica de la longitud de la circumferència entre el seu diàmetre, de forma prou acurada.

Si vols saber més coses sobre el nombre o les circumferències i cercles, pots llegir aquestes pinzellades de cultura matemàtica:

Circumferències i cercles
El nombre pi

T1 Ep.6 - Acer recobert de coure

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-19T11:57:09Z

Aquesta investigació pretén descobrir amb molta precisió quin és el diàmetre de les tres monedes més petites de curs legal: 1 cèntim, 2 cèntims i 5 cèntims d'euro.

Per fer-ho, s'han d'anar col·locant monedes totes iguals i tangents (que se toquin) sobre un regle, fins que el total marqui un nombre de centímetres enter (vulgarment diríem exacte, encara que aquesta expressió no és correcta quan feim una mesura).

En el cas de la moneda d'1 cèntim d'euro, tenim que...

...8 monedes fan 13 cm. Per tant, cada moneda farà 13/8 = 1,625 cm

En el cas de la moneda de 2 cèntims d'euro, tenim que...

...8 monedes fan 15 cm. Per tant, cada moneda farà 15/8 = 1,875 cm

I pareix que si seguim la successió establerta fins ara amb la moneda de 5 cèntims...

...8 monedes faran, efectivament, 17 cm! Per tant, cada moneda farà 17/8 = 2,125 cm.

D'aquesta manera, amb un regle que només dóna dècimes de centímetre (mil·límetres), hem aconseguit una precisió molt superior, gràcies a l'acumulació de la mateixa mesura (moneda). Aquesta és un tècnica molt important que val la pena conèixer.

Si voleu saber més coses sobre les monedes, podeu mirar aquesta pinzellada de cultura matemàtica.

(El títol d'aquest capítol respon al fet que la composició d'aquestes tres monedes és acer amb un recobriment de coure que li dóna aquest aspecte vermellós.)

T1 Ep.5 - Un camí helicoïdal

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-11T05:23:43Z

Aquesta investigació pretén descobrir quina figura plana es genera en tallar un tub de paper higiènic per l'hèlice que du marcada, i quants de tubs diferents es poden reconstruir a partir d'aquesta figura.

La primera qüestió és relativament senzilla, però no per això deixa de ser sorprenent. Una corba prou complexa, la hèlice, es transforma en una simple recta inclinada en tallar el tub, mentre que les circumferències extremes del cilindre inicial, també es transformen en dos segments rectilinis.

Això fa que el cilindre es transformi en un paral·lelogram. Concretament en un romboide.

Si ara tornam enrevoltillar el paral·lelogram igual que abans, ajuntant els costats llargs, recuperarem el cilindre original, però si l'enrevoltillam pels costats curts, llavors ens sortirà un cilindre de diàmetre més ample però d'alçada inferior.

És molt interessant fer notar que el sentit de gir de l'hèlice en un i en l'altre cas canvia. És a dir, que si el cilindre presenta una hèlice dextrogira (en el sentit de les busques del rellotge), en reconstruir el cilindre curt llavors serà levogira (contrària a les busques del rellotge).

Si, una vegada obtingut el romboide, doblegam el cartó cap a la cara contraria de la que té el vici, llavors obtindrem els dos mateixos cilindres però aquests, invertiran el gir de la seva hèlice respecte dels seus homòlegs doblegats cap a l'altre costat.

Per tant, estrictament parlant, podríem obtenir 2 cilindres diferents si només ens fixam en les seves dimensions, però serien 4 si tenim en compte el sentit de gir de l'hèlice.

(Així mateix, davant aquests dos cilindres diferents construïts amb la mateixa superfície, és molt interessant demanar-se si tendran el mateix volum.)

T1 Ep.4 - El pentàgon perdut

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-05T03:20:32Z

Aquesta investigació pretén descobrir els pentàgons que romanen amagats a casa i el fet que la divisió entre la seva diagonal i el seu costat dóna sempre el mateix resultat (sempre que es tracti d'un pentàgon regular).

Com ben segur hauràs descobert, la divisió proposada dóna com a resultat, sempre, un nombre molt proper a 1,62.

El fet que no sempre surti exactament igual, es deu a dues coses:

Les mesures mai no són exactes (sempre hi ha un petit marge d'error)
Els pentàgons regulars reals (dibuixats, construïts...) no són mai perfectes

Aquest nombre que surt -1,618...- es coneix com a nombre auri. En el cas del pentàgon del vídeo, tenim:

I la divisió ens surt... 6,8 / 4,2 = 1,619... que és prou acurada.

Aquesta relació (divisió), anomenada també secció àuria, rep el nom de la lletra grega fi (Φ) en honor a Fídies, escultor i arquitecte del Partenó d'Atenes.

Si ara desenvolupam la cinta de paper, trobarem 4 trapecis auris ben marcats formats per tres costats del pentàgon i la seva diagonal.

Si vols saber més coses sobre el pentàgon regular, pots llegir la següent pinzellada de cultura matemàtica.

T1 Ep.3 - El secret del calendari

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-27T04:37:33Z

Aquesta investigació pretén descobrir quina és la relació aritmètica entre la suma dels nou nombres que poden formar un quadrat 3x3 en un calendari i el nombre que ocupa la posició central.

En el cas de la fotografia anterior, la suma dels nou nombres és 108 i el nombre central 12. Si prenem un altre quadrat, per exemple,

la suma dels nou nombres és 135 i el nombre central 15.

Per poques proves que facem, la relació entre aquests parells de nombres esdevé evident. Basta dividir la suma per 9 (el nombre de dies dins el quadrat) per obtenir el nombre central.

108 : 9 = 12

135 : 9 = 15

Per què és així?

Quan dividim la suma per 9, estam fent -de facto- la mitjana. Això és així perquè els 4 nombres més petits que el central, es troben a la mateixa distància del centre que els 4 nombres més grans, de manera que es compensen mútuament. En el darrer cas, podem observar: 14 i 16 (mitjana 15), 9 i 21 (mitjana 15), 8 i 22 (mitjana 15), 7 i 23 (mitjana 15).

Algebraicament es pot representar de la següent manera:

Si sumam totes les caselles, obtindrem:

x-8 + x-7 + x-6 + x-1 + x + x+1 + x+6 + x+7 + x+8= 9x

És a dir, nou vegades el valor central, tal i com ja havíem descobert.

Un truc de màgia

Aquesta propietat, es pot presentar en forma de truc de màgia (la primera vegada que el vérem així fou de la mà de Fernando Blasco). Diem a qualcú que sumi els nou nombres d'un quadrat 3x3 sense que nosaltres sapiguem quin és. Quan ens digui el resultat final, simplement el dividirem per 9 i li podrem dir quin és el nombre central (i, per tant, tots els altres).

Dividir un múltiple de 9 de 3 xifres és una tasca que pot resultar molt fàcil.

En un calendari, la suma més petita que pot sortir d'un quadrat 3x3 és 81. La divisió per 9 és immediata. De la mateixa manera que si surt 90 (amb el 10 al centre).

Per valors de la suma més grans, que poden anar des de 99 fins a 207, només hem de mirar dues coses:

1- Si la suma està entre 90 i 180, el resultat serà deu i busques. Si la suma és a partir de 180, el resultat serà vint i busques.

2- Saber les busques és molt senzill. Simplement s'ha de mirar quantes unitats fan falta per completar una desena. Veiem alguns exemples:

SUMA = 153
Com que no arriba a 180, serà deu i busques.
Com que acaba en 3, per completar una desena en necessitam 7.
Llavors 153 : 9 = 17

SUMA = 198
Com que passa de 180 serà vint i busques.
Com que acaba en 8, per completar una desena en necessitam 2.
Llavors 198 : 9 = 22

Si voleu saber més sobre el nostre calendari, podeu mirar aquesta pinzellada de cultura matemàtica.

T1 Ep.2 - Alea iacta est

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-24T02:29:18Z

Aquesta investigació pretén descobrir com estan col·locats els diferents nombres a les cares d'un dau.

Com ben segur hauràs descobert, la suma de les puntuacions de les 8 cares horitzontals (la de damunt i la de davall de cada dau) sempre dóna 28. Per tant, si sabem la puntuació de la cara superior, simplement restant aquest valor de 28 obtindrem la suma de les cares ocultes. Un bon truc de màgia per fer amb la família o amb les amistats.

La raó d'aquesta constant és que -per conveni internacional- les cares dels daus que estan oposades, les que no comparteixen cap aresta, sempre sumen 7. És a dir, que:

el 6 sempre està oposat a l'1
el 5 sempre està oposat al 2
el 4 sempre està oposat al 3

Per tant, per exemple, en el cas del dau de la fotografia superior, les cares posteriors del 5 i el 4 seran, respectivament, el 2 i el 3. Això voldrà dir, que la cara superior a la que se li ha esborrat el nombre, serà necessàriament l'1 o el 6.

Això, en realitat, ens donaria dos possibles daus diferents. De fet, nosaltres, hem trobat les dues configuracions només amb els daus que tenim a casa.

I a casa teva? Com són els daus que teniu? De fet hi ha un dels dos daus que és molt més abundant que l'altre.

Si vols saber més coses sobre daus, pots llegir la següent pinzellada de cultura matemàtica.

T1 Ep.1 - La constant pitagòrica

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-22T04:54:06Z

Aquesta investigació pretén descobrir el nombre que s'amaga rere tots els quadrats.

Com ben segur hauràs descobert, la divisió entre la diagonal d'un quadrat i el seu costat dóna com a resultat, sempre, un nombre molt proper a 1,41.

El fet que no sempre surti exactament igual, es deu a dues coses:

Les mesures mai no són exactes (sempre hi ha un petit marge d'error)
Els quadrats reals (dibuixats, construïts...) no són mai perfectes

Aquest nombre que surt -1,41- es coneix com a constant pitagòrica i això es deu al fet que si aplicàssim el teorema de Pitàgores, descobriríem que aquest nombre en realitat és l'arrel quadrada de dos.

Els babilonis ja ho sabien fa quasi 4000 anys!

(Tauleta babilònica YBC 7289, 1800-1600 aC, Yale Babylonian Collection. Reproducció: Pilar Sastre)

Si vols saber més coses sobre l'arrel quadrada de dos, pots llegir la següent pinzellada de cultura matemàtica.