SBM-XEIX

El nombre pi

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-09T06:06:11Z

(Antiga pintada al carrer de Sant Miquel i la seva inversió un poc modificada)

A cap alumne/a no li hauríem de furtar el plaer de descobrir per ell mateix, juntament amb els seus companys i companyes de classe, el nombre pi. Simplement hem d'animar-los a fer la divisió del perímetre d'un cercle entre el seu diàmetre, per a molts de cercles diferents (treball cooperatiu), veure que els resultats són prou coincidents i calcular la mitjana.

Història

El coneixement inicial de pi passa, efectivament, pel descobriment d'aquesta relació constant entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.

Els primers documents on es constata aquest fet apareixen a l'entorn de Mesopotàmia i Egipte. Es tracta de la tauleta YBC 7302 i el papir de Rhind, tots dos datats de principis del 2n mil·leni aC.

(Tauleta 7302 de la col·lecció babilònica de Yale. Imatge: Yale Peabody Museum of Natural History)

En aquesta tauleta, el valor de pi utilitzat és 3, aproximació habitual en aquells temps, tot i que també feien servir el 3.125 (3 i un vuitè).

(Papir de Rhind. Imatge de Paul James Cowie - Domini públic)

En aquest papir, el valor de pi utilitzat és 3.16 cosa que suposa un error inferior al 0.6%.

Tenim encara dos exemples històrics que ens remeten a l'aproximació entera de pi com a 3. Un, el passatge de l'Antic Testament, del I Llibre dels Reis (7-23), en què diu:

Féu, així mateix, un bací de fundició, de deu colzes de diàmetre, rodó, de cinc colzes d'alt i trenta de circumferència.

L'altre, del llibre de Montserrat Fontanet Art de conró (Mallorca, 1747), quan sobre el problema de canar una era de batre diu:

Nota que per canar una era o qualsevol radó hay à duas reglas: o quadrar-la y canar los quatre vents y trèurer el compte o canar-la ab duas canadas en creu y serà més aviat, y tant de una manera com de altre ca n'as tret el compte, puja lo que pujarà, has de llevar o trèurer la quarta part, y lo que quedarà serà de terra.

(Era de batre de la Trapa, Mallorca)

Aquest plantejament equival a dir que la superfície d'un cercle és 3/4 del diàmetre al quadrat, o sigui, que pi és igual a 3.

Però segurament, l'aproximació més acurada i rigorosa de pi a l'Edat Antiga la devem a Arquimedes, que en la seva obra "la mesura del cercle" el calcula pel mètode d'exhaustió. Arquimedes diu que 223/71 < pi < 22/7 cosa que suposa (la mitjana) 3.1419. Potser per això, el nombre pi es coneixia també com a constant d'Arquimedes.

Per millorar el coneixement de pi, hagueren d'arribar les sèries infinites. La primera passa en aquest sentit arribà de la mà del matemàtic indi Madhava de Sangamagrama (s. XIV), qui trobà que

A partir del s. XVI i, especialment, amb l'arribada del càlcul infinitesimal al s. XVII, hi va haver una vertadera eclosió de fórmules, brillants, elegants, espectaculars, sorprenents.

Fórmula de François Viète (1593):

Fórmula de John Wallis (1655):

O aquesta (que recorda els mòbils de l'escultor Alexandre Calder):

PROPIETATS

Pi és irracional
Això vol dir que no existeix cap fracció de nombres enters que sigui exactament aquest nombre. Hem de recordar que, a la Grècia clàssica, per als Pitagòrics, els irracionals (anomenats llavors incommensurables) no existien. D'aquí que el valor de pi fos donat sempre com una fracció (22/7 en el cas arquimedià).

Pi és transcendent
Ho demostrà Ferdinand von Lindemann el 1882. Això vol dir que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que tengui pi com a solució. Aquest resultat és especialment important perquè tancava, després de més de 2000 anys, el problema de la quadratura del cercle. No es pot construir, amb regle i compàs, un quadrat que tengui la mateixa àrea que un cercle donat.

Una pregunta oberta

No se sap si pi és un nombre normal, és a dir, si podem trobar qualsevol successió de xifres decimals en la freqüència que seria esperada de ser aquesta aleatòria. Referent a aquesta idea, hi ha programes en xarxa que ens troben la nostra data de naixement. Si pi fos normal, podríem trobar qualsevol successió numèrica predeterminada i, per tant, codificant les lletres com a nombres, també qualsevol text.

Actualment, es coneixen més de 31 bilions de xifres decimals de pi.

Circumferències i cercles

Josep L. Pol i Llompart — 2020-06-02T03:29:23Z

D'entre les primeres circumferències o cercles que les persones del món prehistòric observaven en el món natural, d'entre aquelles que ens ajudaren a adquirir la noció primigènia, ben segur que hi havia el disc solar, la lluna plena, les ninetes dels ulls de la gent propera...

Per la senzillesa de la seva construcció, la circumferència és la línia corba amb més presència del món civilitzat. Amb una estaca o punxó (centre) i un cordill (radi) es degueren construir a la prehistòria gairebé totes.

(Aixovar talaiòtic de la cometa dels Morts al Museu de Lluc, Mallorca)

El III llibre dels Elements d'Euclides (s. IV aC.) està dedicat íntegrament a les propietats de la circumferència i el cercle, així com de les seves tangents, cordes, arcs, i angles centrats i inscrits.

Algunes propietats

Parlarem aquí només d'algunes propietats significatives de l'immens ventall que presenten.

1. Per definició, els punts d'una circumferència estan tots a la mateixa distància (equidisten) d'un altre punt fix anomenat centre. Aquesta distància s'anomena radi.

2. Si dividim la longitud d'una circumferència entre el seu diàmetre, el resultat és una constant universal anomenada pi () de valor 3,14159...

3. A partir de la propietat anterior, la longitud (L) d'una circumferència es pot calcular mitjançant la fórmula L = 2..r

4. Si ara descomposam el cercle en infinits sectors circulars, la figura que aquí presenta només 8 sectors seria en realitat un rectangle que tendria una alçada igual que el radi i una base igual que la meitat de la longitud de la circumferència.

Per tant, l'àrea del cercle transformat ara en un rectangle serà:

5. Qualsevol recta tangent a una circumferència (que la toca en un sol punt) és perpendicular al radi que conté el punt de tangència.

6. Qualsevol triangle format pels extrems d'un diàmetre i un altre punt de la circumferència, és rectangle. (Aquesta propietat és fàcil de visualitzar si pensam que aquests triangles són en realitat la meitat d'un rectangle amb les diagonals sobre sengles diàmetres.)

7. Els angles inscrits en una circumferència que abracen la mateixa corda (en el cas de la il·lustració la corda AB) són iguals. És el cas general de la propietat anterior.

8. L'àrea del cercle circumscrit a un quadrat és el doble de l'àrea del cercle inscrit en aquest mateix quadrat. (Això és bo de veure si pensam que la relació de radis és l'arrel quadrada de dos.)

9. La mediatriu d'una corda passa sempre pel centre de la circumferència.

10. Per tres punts no alineats, hi passa sempre una sola circumferència. Basta traçar les dues mediatrius de dues de les cordes possibles per trobar el centre d'aquesta circumferència.

11. La projecció d'una circumferència sobre un pla que no sigui paral·lel a ella, és una el·lipse. (En realitat, podem considerar la circumferència com un cas especial d'el·lipse en la que la distància entre els seus focus és zero.)

En la imatge anterior, podem veure com el forat circular del contenidor que tenim a la vista, projectat sobre el pla de la foto, s'ha convertit en una el·lipse. Així mateix veim com la projecció solar del forat circular del darrere del contenidor sobre les seves parets és, també, una el·lipse.

12. El cercle no es pot quadrar amb regle i compàs. El 1880, Ferdinand von Lindemann demostrà que no es podia construir un quadrat que tengués exactament la mateixa àrea que un cercle donat, segons la regla grega del regle i compàs. Es tancava així un problema de més de 2000 anys d'antiguitat, el de la quadratura del cercle.

(Representació de la geometria al sepulcre de Ramon Llull amb la Figura Plena que presentaria la quadratura i la triangulatura del cercle.)

Preguntes que ens podem fer

Quin avantatge té un registre circular?

Els registres del carrer que són circulars tenen l'avantatge que mai no poden caure cap a dins, perquè el diàmetre del forat és constant i una mica menor que el diàmetre major de la tapa. Si fos quadrat, la tapa podria passar per la diagonal. Això fa que en el cas de registres que han de permetre el pas de persones, com els de telefonia, ens asseguram que mai la tapa pot caure dintre sobre algú.

Per què el castell de Bellver té planta circular?

No tenim documents que aportin aquest perquè, però el fet que sigui de planta circular té dos avantatges indiscutibles. En primer lloc, el castell no presenta punts febles en la seva defensa, sinó que té una visibilitat igual de bona des de tots els punts.

I en segon lloc, la circumferència és la línia més curta que conté una superfície determinada. És a dir, que una vegada decidida la superfície del pati d'armes, el seu perímetre és menor que si fos de factura rectangular o, en general, poligonal. I això vol dir menys despesa en material.

Monedes

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-19T09:41:06Z

(El canvista i la seva dona. Oli sobre taula de Quentin Matsys, 1514. Museu del Louvre, París. Imatge: domini públic)

Les monedes, o més ben dit, les unitats monetàries, són unitats que permeten mesurar i, per tant, quantificar, el valor mercantil de les coses, mercaderies o serveis. Aquestes mercaderies poden ser produïdes (i llavors la mesura es diu preu) o productores (i llavors la mesura es diu salari).

Les unitats monetàries són realitats abstractes que permeten, per conveni universal, diferir el troc original (l'intercanvi físic de mercaderies) en l'espai i el temps.

Origen

Les monedes, com a realitat física, acompanyen l'activitat comercial de les persones des de fa milers d'anys. Tenen el seu origen en les peces de metalls nobles, normalment d'or, plata o coure, que es feien servir facilitar l'intercanvi de bens, ja que tenien valor en si mateixes.

Però aquestes peces de metall no estaven normalitzades i per tant, n'hi havia de diverses gruixes, pesos, puresa... A més, hi havia qui les aliava amb metalls més barats per cometre frau, de manera que l'aparença i el pes fossin el mateix.

Per causa de tot això, es feu necessari normalitzar aquestes peces amb el segell d'alguna autoritat (normalment el rei de torn) que certificàs la puresa i el pes. Així nasqueren les monedes pròpiament dites a l'Àsia Menor vers el s. VII aC.

(Catalunya, València i les Illes Balears a l'Atles Català dels Cresques, 1375. Biblioteca Nacional de París. Imatge: domini públic)

L'acte de gravar una peça de metall per fer-la moneda s'anomena encunyació i, el taller on es realitza es diu seca o casa de moneda. La seca de Barcelona data de 1208, la de València de mitjan segle XIII, la de Mallorca de 1300 i la de Perpinyà el 1346.

(Moneda de Jaume II encunyada a Mallorca: IACOBUS DEI GRA(TIA) REX MAIORICARUM)

Observant aquesta moneda podem entendre perquè, quan algú es juga alguna cosa llançant una moneda, es diu que se la juga a cara o creu.

Valors diversos

Els valors de les diferents monedes d'un mateix estat són el fruit d'un equilibri d'interessos oposats:

Per una part, evitar que el canvi tornat en un pagament necessiti moltes monedes. Imaginem que una cosa val 1 u i pagam amb una moneda de 10 u. Si no hi hagués monedes de valor intermedi, ens haurien de tornar 9 monedes d'1 u.

Per altra banda, evitar haver d'encunyar un excés de monedes diferents que arribarien fins i tot a complicar el seu maneig.

La pesseta

(Pessetes de curs legal a l'estat espanyol l'any 2000)

A l'estat espanyol, la moneda pròpia fins al s. XXI fou la pesseta. Tot i que fins ben entrada la segona meitat del s. XX encara circulaven cèntims, finalment la moneda més petita fou la mateixa pesseta. Hi havia monedes d'1, 5, 10, 25, 50, 100, 200 i 500 pessetes. I durant els darrers anys, també s'encunyaren monedes de 2000 pessetes. La pesseta fou moneda legal fins l'1 de març de 2002.

Si ens hi fixam, els múltiples de la pesseta només fan servir dos factors, que són els divisors propis de 10, el 2 i el 5. Aquest fet facilita molt el càlcul dins el nostre sistema decimal.

1 = 1
5 = 5
10 = 2 x 5
25 = 5 x 5
50 = 2 x 5 x 5
100 = 2 x 2 x 5 x 5
200 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5

A més, el diàmetre de les diferents monedes en circulació (imatge anterior) seguia l'ordre del seu valor.

L'euro

L'euro fou introduït a l'estat espanyol l'1 de gener de 1999 i convisqué amb la pesseta fins a la desaparició definitiva d'aquesta. Les fraccions (o múltiples) de les diferents potències de 10 utilitzades fan servir també exclusivament els divisors de 10 (2 i 5) però en aquest cas, l'estructura és completament coherent:

500, 200, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.50, 0.20, 0.10, 0.05, 0.02, 0.01

El diàmetre de les diferents monedes en circulació només segueix l'ordre del seu valor dins cada potència de 10. És a dir,

1 ct < 2 ct < 5ct // 10 ct < 20 ct < 50 ct // 1 € < 2 €

Les monedes d'un mateix ordre, tenen també un disseny i composició comuns.

El camí de Mart

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-14T08:14:46Z

(Universum, Flammarion, gravat. París (1888); versió acolorida d'Hugo Heikenwaelder, Viena (1998))

L'observació del cel ha estat un dels motors històrics de les matemàtiques. No de bades, dins l'estructura del Quadrivium, la geometria estudiava les figures en repòs mentre que l'astronomia estudiava les figures en moviment. Aquesta és la història de les circumferències en moviment.

La revolució copernicana, el pas definitiu del model geocèntric al model heliocèntric en la concepció del nostre sistema solar, ens ofereix un exemple paradigmàtic i magnífic en aquesta interpretació geomètrica del camí de Mart. Un camí del que podem ser testimonis directes amb la simple observació del cel nocturn un pic cada dos anys.

Molt abans que apareguessin els telescopis, l'observació del cel a ull nu ens donava tres tipus d'objectes: el Sol, la Lluna i les estrelles. Dins aquest darrer grup, n'hi havia 5 que canviaven la seva posició al llarg de l'any respecte de la resta i, per això, eren anomenades estrelles errants, concepte que, en grec, respon a la paraula de planeta. Eren Mercuri, Venus, Mart, Júpiter i Saturn.

(Diagrama geocèntric de Macrobi (s. IX). Imatge: domini públic)

Tot i que alguns astrònoms grecs com Aristarc de Samos (s. III aC) ja postularen un hipotètic model heliocèntric del nostre sistema, el cas és que al llarg de la història, el model acceptat fou gairebé sempre el geocèntric, amb la Terra al centre de l'univers i la resta d'astres voltant entorn de nosaltres seguint òrbites circulars. I la veritat és que, a efectes pràctics, per a allò més necessari (les hores, les estacions, els anys...) el model funciona prou bé.

Però algunes observacions no encaixaven i, per tant, el model s'havia de modificar. Una d'elles, feia referència al planeta roig. Efectivament, si observam la trajectòria de Mart al llarg dels mesos, veurem que la seva posició sobre l'escenari de les constel·lacions zodiacals va canviant i, com tots els altres planetes, es va moguent d'oest a est. Fins aquí res d'estrany.

(Moviment setmanal de Mart entre març i maig de 2020)

Però una vegada cada poc més de dos anys, Mart sembla aturar-se i arriba a invertir el seu moviment, com si tornàs enrere, d'est a oest. És el que es coneix com retrogradació. A més, durant el temps en què això passa (algunes setmanes), la lluentor d'aquest planeta és màxima.

Claudi Ptolemeu (s. II dC), mirà d'explicar aquest fet a través d'una combinació de trajectòries circulars anomenades epicicles. Es tractava de pensar que a més del cicle principal al nostre voltant, els planetes feien uns petits cicles propis (epicicles) de manera que això explicaria la retrogradació. I la veritat és que ho aconseguia prou bé.

A continuació podeu veure una simulació amb GeoGebra:

Però durant la primera meitat del s. XVI, en ple Renaixement, Nicolau Copèrnic arrambà amb el sistema ptolemaic i la concepció aristotèl·lica de l'univers per postular la simplicitat d'un model heliocèntric amb el Sol enmig del nostre sistema.

Aquesta teoria es feu pública poc després de la mort de l'astrònom polonès, al 1543, amb la publicació del llibre De revolutionibus orbium coelestium. Lentament, amb l'oposició frontal de l'església, les coses s'anaven posant al seu lloc.

D'aquesta manera, el fet que Mart torni enrere, el fet que Mart retrogradi, es pot explicar de forma més senzilla.

A continuació podeu veure una simulació amb GeoGebra:

Preguntes que ens podem fer

Com puc observar la retrogradació de Mart?

És emocionant observar directament com Mart torna enrere en el seu camí per l'univers. Com s'ha dit, això passa un cop cada dos anys i escacs. Llavors basta mirar el planeta al cel nocturn un o dos pics per setmana i anar-lo situant respecte de les constel·lacions.

En els dies en que Mart retrograda, aquest està en oposició, és a dir, tenim Mart i el Sol alineats amb nosaltres, un "davant" i l'altre "darrere". La pròxima vegada que passarà això serà el 13 d'octubre de 2020.

Lògicament, el cicle de la lluna ens pot desbaratar algunes observacions i, per això, és útil fer el seguiment també amb alguna aplicació del mòbil que ens donarà la posició de Mart respecte de les constel·lacions en qualsevol moment del dia.

Per què la lluentor de Mart és màxima durant la retrogradació?

Com s'ha dit abans (i com es pot veure al vídeo) la retrogradació es produeix quan la Terra avança a Mart en la seva trajectòria entorn del Sol. En aquests moments, la distància entre els dos planetes és mínima i, a més, la llum del sol il·lumina tota la superfície visible de Mart.

Si les òrbites fossin circulars, no hi hauria diferència entre diverses oposicions, però com que l'orbita de Mart és sensiblement el·líptica (la de la Terra també ho és, però molt poc), hi ha oposicions especialment lluminoses i aquestes s'anomenen oposicions perihèliques. (Les oposicions perihèliques es produeixen 2 pics consecutius cada 17 anys aproximadament.)

Tots els planetes volten en el mateix sentit?

Mirats des de l'estrella polar (vulgarment des de damunt), els 8 planetes de la Via Làctia fan voltes al Sol en sentit contrari a les busques d'un rellotge. En astronomia aquest sentit de gir s'anomena directe.

Aquesta homogeneïtat de gir s'addueix com a prova de la formació de tots ells a partir de la rotació de la nostra estrella, el Sol. Per tant, vists des del Sol, els planetes es desplacen d'oest a est sobre el pla estel·lar.

A més, la majoria de planetes (amb les excepcions de Venus i Urà) tenen aquest mateix sentit de gir en la rotació sobre el seu eix, igual que la majoria de satèl·lits naturals.

No està girat, en aquest article, el concepte d'Est i Oest?

En mirar la trajectòria dels planetes, la línia anomenada eclíptica, dirigim la mirada cap al sud geogràfic, de manera que l'oest ens queda a la dreta i l'est a l'esquerra.

Les escales de caragol

Josep L. Pol i Llompart — 2020-05-07T05:17:30Z

(Escala de caragol del castell de l'illa de Cabrera, Illes Balears)

Les escales de caragol són un element urbà prou comú i molt interessant des del punt de vista matemàtic. Començarem dient que el seu nom popular és embulladís ja que en realitat, les línies de creixement d'un caragol i les de l'escala homònima són prou diferents.

En el cas del caragol, la línia anomenada espiral s'allunya del centre (o de l'eix de creixement) mentre que en el cas de l'escala, la barana sempre es troba a la mateixa distància del seu eix central vertical. El nom tècnic d'aquesta corba és hèlice (també es pot anomenar hèlix). El terme helicoïdal s'aplica a la superfície generada per una hèlice per la unió dels seus punts amb l'eix.

Segurament, aquesta confusió nominal ve del fet que, vista o fotografiada des de dins, la perspectiva de l'escala ens ofereix aparentment una línia espiral que canvia la seva distància al centre, com els caragols. (Ho podem apreciar molt bé a la fotografia que encapçala aquest article.) Però estrictament parlant, l'espiral és una corba plana.

Les hèlices són més comuns del que podríem pensar en un primer moment. És el cas dels llevataps, dels grampons o dels perns, del llom de molts quaderns, de les molles...

És curiós el fet que a Catalunya, com en les escales, fan servir també el nom de caragol com a sinònim de grampó.

I què passa a la natura? Doncs que les hèlices són també prou freqüents i especialment importants. Per començar, el nostre codi genètic se sustenta sobre una doble hèlice: és l'ADN. I l'estructura secundària més freqüent entre les proteïnes és també una hèlice (l'hèlix alfa).

L'altre font d'hèlices, com no podria ser d'altra manera, és el món de les plantes. Els circells ramificats de les vinyes desenvolupen hèlices per contacte.

Les fulles dels lliris de platja desenvolupen superfícies helicoïdals.

I els fruits d'algunes flors del gènere Medicago com l'alfals arbori (Medicago citrina) també desenvolupen la seva bajoca en superfícies helicoïdals.

Propietats de les hèlices

1. Definició

Definim hèlice com aquella corba que se genera per enrotllament constant d'una línia sobre una superfície cilíndrica.

Tècnicament, la tangent a aquesta corba en qualsevol punt forma un angle constant amb la recta central fixa anomenada eix. Dinàmicament, una hèlice es pot generar per rotació d'un punt a velocitat constant sobre una circumferència, mentre aquesta circumferència es desplaça també amb velocitat constant a través de l'eix perpendicular a ella que passa pel seu centre.

2. Longitud

La longitud d'una hèlice és funció de tres variables: el radi de gir respecte de l'eix central, el nombre de voltes i la longitud total de l'eix. La seva fórmula s'obté per aplicació directa del teorema de Pitàgores:

3. Desenvolupament pla

Si tallam un cilindre per la línia d'una hèlice, la figura resultant és un paral·lelogram. Això vol dir que el desenvolupament pla d'una hèlice és una recta.

4. Sentit de gir

En no tenir plans de simetria, una hèlice i la seva imatge especular no són iguals. Si el gir es produeix en el sentit de les busques del rellotge, es diu horària o dextrogira. En cas contrari, s'anomena anti-horària o levogira. Aquest fet és bo de veure en molts de retaules barrocs en que les columnes salomòniques (hèlices) d'un costat i de l'altre són simètriques entre si. És el cas del retaule major de Sant Salvador de Felanitx.

D'esquerra a dreta, les columnes serien dextrogira, levogira, dextrogira i levogira.

Per conveni, els perns, els grampons i els llevataps habituals són levogirs, mentre que les hèlices d'enquadernar són dextrogires.

5. Projecció lateral

La projecció lateral d'una hèlice sobre un pla lateral és una funció sinusoïdal.

Un poc d'història

L'hèlice ja era coneguda a la prehistòria, segurament per observació directa de la naturalesa. Així ho certifiquen testimonis com aquest braçalet talaiòtic, de factura troncocònica trobat a la cometa dels Morts de Lluc (Mallorca).

El pern d'Arquimedes és una màquina per treure aigua (és a dir, una bomba), que consisteix en un pern helicoïdal inserit en un cilindre. Tot i que habitualment s'atribueix al savi de Siracusa (s. III aC), sembla que ja era conegut abans. El mateix Leonardo da Vinci en dibuixa una versió al Codex Atlantiucs.

Pel que fa a les escales de caragol, les més antigues se sustenten sobre un estret cilindre central que fa d'eix. S'atribueix a Guillem Sagrera (Mallorca, s. XIV) la innovació d'eliminar aquest eix. D'aquesta manera, es poden pujar i baixar objectes amb una corda pel centre de l'escala i també s'aconsegueix que l'escala sigui més lluminosa. La primera escala d'aquests tipus seria la que puja a una de les torres de la Llotja de la Ciutat de Mallorca. Trobam escales de caragol mallorquí a la catedral de Sevilla, a la Sagrada Família de Barcelona, etc.

Càlcul del pas per a una escala de caragol

Les escales de caragol tenen dues característiques molt importants pel que fa a l'arquitectura defensiva:

Minimitzen l'espai consumit.
Dificulten molt l'entrada d'enemics armats i, per tant, són fàcils de defensar.

Com que es replega sobre si mateixa, una escala de caragol ha de permetre el pas d'una persona. L'alçada disponible entre un graó i el graó que hi ha exactament a sobre, dependrà del nombre de graons per volta i de l'alçada de cada graó.

Normalment, les escales de caragol es dissenyen amb un nombre enter de graons per volta, és a dir, que l'angle d'un graó és un divisor de 360. Si anomenam "n" al nombre de graons d'una volta, llavors el pas d'una escala vendrà donat per: P = (n-1).a

Això fa que, per una alçada de pas determinada (per exemple 2 m) si eixamplam l'angle de gir per tenir més superfície de petjada, llavors hi haurà menys graons per volta, hauran de ser més alts i, per tant, més incòmodes. Per altra banda, si no els fem molt alts, llavors haurem de posar-ne més per volta per poder arribar a l'alçada desitjada, és a dir, que seran més estrets d'angle i, per tant, més incòmodes.

En el cas de la primera fotografia (castell de Cabrera), l'escala té 12 graons per volta. Això vol dir graons de 30º de gir i, aproximadament, de 18 cm d'alçada.

La única manera de millorar la comoditat d'una escala de caragol és augmentar el radi del cilindre que la conté.

En l'antic convent de Santo Domingo de Bonaval (Santiago de Compostela) trobam una magnífica triple escala de caragol.

El pentàgon regular

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-30T03:39:13Z

La figura geomètrica més abundant en un món humanitzat és sens dubte el rectangle (hem de pensar que el quadrat està inclòs dins la categoria dels rectangles). Però no ens costaria gens trobar triangles (torres d'alta tensió, bastides...) o, fins i tot, hexàgons (la secció de molts llapis i bolígrafs, algunes rajoles, caseres d'abella...). En canvi, si pensam en el pentàgon, la tasca se'ns apar complicada. Dins el món humanitzat, gairebé impossible. Però si ens hi fixam, la natura ens ofereix alguns exemples ben representatius.

En el món de la zoologia, els equinoderms (com l'eriçó de mar) són els únics animals que presenten la simetria pentarradiada.

(Fòssil de Clypeaster grandiflorax del Museu de Ciències Naturals de Sóller. Mallorca, Vindobonià / Fòsil d'equinoderm en un edifici del Parc Bit)

En canvi en el món de la botànica, són moltes i diverses les plantes que presenten flors de 5 pètals. És el cas de les rosàcies, les estepes, les corritjoles, les palònies, les vaumes, les vinagrelles, les rudes, les prímules, els trepons, la borratja...

(Trepó, ruda, clavell, corritjola, ametler)

Construcció

Hi ha una manera relativament senzilla de construir un pentàgon regular amb una trinxa de paper. Simplement fem un nus simple, i anam estirant perquè encaixi el màxim possible sense estrènyer ni arrugar la tira de paper. La construcció superposada amb el GeoGebra ens confirma que el pentàgon construït és prou regular.

El pentàgon regular es pot construir segons les regles de la geometria grega, és a dir, amb un regle sense marques i un compàs. De fet Euclides proposa una construcció en la proposició XI del llibre IV a partir d'un triangle isòsceles. Una altra construcció possible és la següent:

1. Traçam dues rectes perpendiculars que passin pel centre de la circumferència i definim el punt A
2. Marcam el punt mitjà d'un dels quatre segments obtinguts.
3. Traçam la recta que passa per AM
4. Traçam la bisectriu de la recta que passa per AM amb l'horitzontal i definim el punt H
5. Traçam la paral·lela a l'eix horitzontal que passi per H i definim el vèrtex B
6. Repetim el procés per calcular la resta de vèrtexs (en realitat, per simetria, basta repetir el procés amb el vèrtex C i marcar automàticament D i E)

Propietats

1. L'àrea d'un pentàgon regular té la seva expressió en funció del costat "a" en:

2. La relació entre la diagonal d'un pentàgon regular i el seu costat és la proporció àuria, fi. És a dir, 1,618... Potser aquesta és una de les propietats més populars del pentàgon regular.

3. El pentàgon regular és el primer polígon regular que no tessel·la el pla. És a dir, no podem enrajolar una habitació amb pentàgons regulars sense deixar forats o superposar figures, cosa que sí podem fer amb triangles equilàters, amb quadrats i amb hexàgons regulars. Això es deu a què l'angle interior entre costats del pentàgon és de 108º, que no és divisor de 360º.

4. En canvi el pentàgon regular sí que tessel·la l'esfera, és a dir, podem anar tancant una esfera només amb pentàgons sense que quedi cap forat. Ho podem fer concretament amb 12 pentàgons. És el dodecaedre, un dels cinc cossos platònics, al qual s'associava l'element de l'éter o Quinta essència. El mateix Dalí fa ús d'aquest simbolisme en un dels seus quadres més famosos com és l'últim sopar, pintat el 1955.

(Dodecaedres de Gaudí al baldaquí de la Seu de Mallorca)

5. Si prolongam els costats del pentàgon fins a les interseccions obtindrem el corresponent polígon estrellat, que rep el nom de pentacle (encara que també es coneix com a pentagrama o pentalfa).

L'estrella de 5 puntes o pentacle és una de les figures que es pot traçar sense aixecar el llapis del paper ni passar dues vegades pel mateix traç. És a dir, és un camí eulerià.

(Pentàgon estrellat central d'una tessel·lació de Penrose a l'esglèsia de Santa Maria de Maó, Menorca)

El pentàgon regular -o el corresponent pentacle- és una de les figures místiques per excel·lència des de ben antic. Diversos són els motius com

La seva associació com a símbol de la persona que esdevé evident en el moment d'inscriure aquesta en un pentàgon (una mica forçat per la longitud més curta del cap).
La proporció àuria que presenta la relació entre la seva diagonal i el seu costat.
La relació dels cinc elements si afegim l'èter (o quinta essència) a la terra, l'aigua, l'aire i el foc.
etc.

Jugar als daus

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-07T08:21:35Z

(Daus de la ciutat romana de Pollentia, Alcúdia, Mallorca)

Els jocs de daus han acompanyat la humanitat fa més de 5000 anys. Els daus més antics que es conserven provenen de Xahr-i Sokhta, ciutat antiga al sud-est de l'actual Iran, i podrien ser de principis del 3r mil·leni aC. Aquests daus ja presenten la típica numeració amb puntets de l'1 al 6.

Encara abans, ja a finals del 4 mil·leni aC, trobam representacions a l'Egipte predinàstic d'un joc de fitxes i daus, el senet, que podria haver evolucionat fins al backgammon.

El precursor natural del dau seria l'astràgal, un os del turmell d'alguns animals domèstics com les ovelles o els porcs. En ser llançats aleatòriament, els astràgals acaben mostrant una de les seves quatre cares principals, que els romans associaven als nombres 1, 3, 4 i 6. La gran quantitat d'aquests ossets trobats en multitud de jaciments arqueològics tant a Europa com a Orient, fa pensar que podien estar associats a jocs molt populars. De fet, a Menorca, tenim constància d'un joc, la marraquinca, que va perviure fins ben entrat el s. XX.

Els àrabs, foren així mateix afeccionats jugadors que estampaven una de les cares del dau juganer amb el dibuix d'una flor de taronger. D'aquí, que una de les maneres d'anomenar el successos no predictibles sigui atzar, de l'àrab az-zahr.

Fonaments matemàtics

La figura geomètrica clàssica emprada per construir el dau dels jocs és el cub. Aquest poliedre regular presenta 6 cares iguals i indistingibles. Només el gravat de punts en cada una de les cares permet distingir-les. Per tant, si hom llença un dau sense controlar el moviment (sense fer trampes), la probabilitat que surti una o altra cara és la mateixa, és a dir, una de sis. Això es expressat en forma de fracció, 1/6, i la suma de totes les possibilitats ha de sortir 1.

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Hi ha jocs o propostes lúdiques que presenten la variant de llançar dos daus simultàniament en comptes d'un. Hem de tenir en compte, llavors, que encara que els daus es presentin iguals, cada un és en realitat diferent. Això es pot entendre millor si pensam que fem una marca a un dels dos, o bé que primer en llançam un i després l'altre. Aquí parlam de parell ordenat de resultats.

Dos dels casos més freqüents són els de sumar o multiplicar les puntuacions de cada resultat. En el cas de la suma, el nombre de casos favorables per a cada resultat final seria:

2= 1+1
3=1+2, 2+1
4= 1+3. 2+2, 3+1
5= 1+4. 2+3, 3+2, 4+1
6= 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
7= 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
8= 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2
9= 3+6, 4+5, 5+4, 6+3
10= 4+6, 5+5, 6+4
11= 5+6, 6+5
12= 6+6

Això vol dir, que el resultat global 7 és el més probable, mentre que el 2 o el 12 són els menys probables. En el cas de la multiplicació, els resultats possibles amb el nombre de casos seria:

1 =1x1
2= 1x2, 2x1
3= 1x3, 3x1
4= 1x4, 2x2, 4x1
5= 1x5, 5x1
6= 1x6, 2x3, 3x2, 6x1
8= 2x4, 4x2
9= 3x3
10= 2x5, 5x2
12= 2x6, 3x4, 4x3, 6x2
15= 3x5, 5x3
16= 4x4
18= 3x6, 6x3
20= 4x5, 5x4
24= 4x6, 6x4
25= 5x5
30= 5x6, 6x5
36= 6x6

Preguntes que ens podem fer

Com estan col·locats els nombres de cada cara?

Tots els daus ben construïts compleixen una regla acceptada internacionalment: les puntuacions de cares oposades ha de sumar 7. Aquesta regla ja la trobam en els daus romans de Pol·lèntia. Si ens imaginam un dau encara per marcar, quan posem l'1, a la cara oposada hi haurem de posar el 6. Ara ens quedaran 4 cares contigües indistingibles. Per tant, en qualsevol d'elles hi posarem el 2 i, automàticament en l'oposada, hi anirà el 5. Ara dues cares restants ja són distingibles. Hem trobat daus en les dues possibilitats.

En el cas de la imatge anterior, podem veure com en un cas la seqüència 2, 3, 5, 4 gira en el sentit horari (i l'1 a dalt) mentre que en l'altre cas la seqüència esmentada gira en sentit anti-horari (i l'1 a dalt).

Hi ha altres formes de daus?

Els anomenats cossos platònics són aquells poliedres amb totes les cares regulars i iguals. Per tant, les seves cares també seran equiprobables, és a dir, amb la mateixa probabilitat. Només n'existeixen 5, que són: el tetraedre, el cub, l'octaedre, el dodecaedre i l'icosaedre. Aquests daus (i d'altres) han fet fortuna per mor dels jocs de rol.

I encara hi hauria tota una àmplia gamma de models i possibilitats.

Frases famoses

Alea iacta est

S'atribueix aquesta frase a Juli Cèsar en el moment de travessar el riu Rubicó, cosa que provocà l'inici de la 2a guerra civil romana. Literalment significa: s'ha llançat el dau (la sort ha sigut llançada).

Tot és atzar. Com als jocs de daus, veig homes amb fortuna i d'altres sense sort

Extreta de l'obra Electra d'Eurípides

L'atzar és la mesura de la nostra ignorància

Dita per Henri Poincaré, fent gala del corrent determinista de finals del s. XIX.

Déu no juga als daus

Dita per Albert Einstein en el mateix sentit que Henri Poincaré i en rebel·lia pel corrent indeterminista de principis del XX. Niels Bohr, pare de la mecànica quàntica, li va respondre: "I qui ets tu per dir-li a Déu el que ha de fer?"

El que no està rodejat d'incertesa és impossible que sigui cert

Dita per Richard P. Feynman en el mateix sentit que Bohr.

Els nombres de Fibonacci

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-06T09:05:57Z

(Representació escultòrica de Fibonacci, obra de Giovanni Paganucci -1863- ubicada al cementiri monumental de Pisa. Imatge de lliure distribució extreta de pxhere.com)

Fibonacci, el nom del qual era, en realitat, Leonardo de Pisa, feu públic al 1202 un dels llibres més famosos en la història de les matemàtiques: el Liber Abbaci. Aquest llibre és especialment important perquè impulsa definitivament la substitució dels nombres romans pels nombres indoaràbics a Europa (ja hi havia hagut incursions anteriors, com els estudis de Gerbert d'Orlhac, el Papa Silvestre II, poc abans de l'any 1000).

Fibonacci és recordat, principalment emperò, per redactar un problema -en aquest mateix llibre- sobre la reproducció de conills. La solució d'aquest problema és l'anomenada successió de Fibonacci i ve donada pels termes:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

En aquesta successió, es defineixen els dos primers termes com a 1, i a partir de llavors, cada terme es calcula fent la suma dels dos anteriors. Al cap dels segles, aquesta successió s'ha revelat d'una fecunditat i harmonia natural inimaginables. De fet, el mateix Fibonacci va morir sense saber res de les seves aplicacions.

Presència en el món de les plantes

Molt sovint, la disposició sobre una planta de fulles, flors, llavors, bràctees... apareix en formes espirals o helicoïdals. Si comptam el nombre d'espirals o helicoides en un sentit i en l'altre, descobrirem que en un percentatge altíssim aquests nombres són dos termes consecutius de la successió de Fibonacci. Fixau-vos en les espirals d'una pinya de pi (Pinus halepensis):

Per poder-les comptar millor, hem "pintat" les espirals en un sentit i en un altre.

Descobrim que les espirals que creixen en sentit horari són 8, mentre les espirals que creixen en sentit anti-horari són 13. Efectivament, dos termes consecutius de la successió de Fibonacci.

(Podeu veure un altre exemple en les flors de la camamilla de muntanya en aquesta mirada matemàtica)

Característiques matemàtiques

Sembla mentida que una "simple" successió numèrica com aquesta, pugui tenir la immensa quantitat de propietats que presenta. Fem només algunes observacions senzilles:

Alternança de paritat

És interessant veure com aquesta alternança es produeix amb la seqüència de dos senars i un parell i esbrinar per què.

Màxims comuns divisors

El màxim comú divisor de dos nombres de Fibonacci és sempre un altre nombre de Fibonacci. Podem comprovar-ho, per exemple, si prenem el 21 i el 144. MCD (21, 144) = 3, que també és un nombre de Fibonacci.

Nombre auri

La divisió d'un nombre qualsevol de Fibonacci entre l'anterior, té com a resultat un nombre molt proper al nombre auri (φ= 1,61803...). Com més grans siguin els termes, més proper serà el resultat.

8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615...
34/21 = 1,619...

S'ha de puntualitzar que aquest resultat és vàlid no només per a la successió de Fibonacci, sinó per a qualsevol successió que tingui la mateixa llei de recurrència, és a dir, que generi els seus termes sumant els dos termes anteriors independentment de quins siguin els dos termes inicials.

La fórmula de Binet

Tot i que normalment els termes de Fibonacci s'obtenen mitjançant la seva llei de recurrència (sumant els dos darrers termes s'obtén el següent), l'any 1843, Jacques Philippe Marie Binet trobà el terme general de la successió que ens permet obtenir qualsevol terme directament. Contràriament al que sembla dir el nom, Binet no fou el primer en trobar-la i un segle abans, ja era coneguda per De Moivre, Euler o Daniel Bernoulli. (φ és el nombre auri: 1,618...)

Curiositats

La branca de la botànica que estudia com s'insereixen en una planta les fulles, flors, bràctees, llavors... s'anomena Fil·lotaxi. No és increïble la semblança d'aquesta paraula (en grec, orientació de les fulles) amb el nom de Fibonacci?

Si numeram les lletres de l'alfabet (a=1, b=2, c=3...) i miram quines ocupen posicions de Fibonacci, és divertit formar paraules "àuries". Descobrirem que el mestre de Leipzig, Bach, és completament auri.

Preguntes que ens podem fer

Quin era el problema dels conills?

En un corral hi ha una parella de conills acabada de néixer. Aquesta parella, al cap d'un mes, encara no és fèrtil, però a partir del segon mes tindrà una nova parella de conills cada mes les quals, també a partir del segon mes de néixer, tindran una nova parella de conills i així successivament. Quantes parelles hi haurà en el corral a mesura que passin els mesos suposant que cap conill es mori?

Per què la successió rep el nom de Fibonacci?

Fou al segle XIX quan el matemàtic francès Édouard Lucas anomenarà a aquesta seqüència la successió de Fibonacci, pensant segurament que el matemàtic pisà havia estat el primer en descriure-la en la secció tercera del seu Liber Abbaci. Però en realitat tenim un precedent preciós, quasi un segle abans, de la mà del poeta indi Gopāla.

En efecte, hi ha una variant de la poesia sànscrita de la Índia, els matra-vrttas, en la que el que es compta són les mores i no les síl·labes. En sànscrit, igual que en altres llengües, les síl·labes poden ser llargues o curtes. Si són curtes, es diu que tenen una mora i, si són llargues, dues.

Gopāla, devers els anys 1133-1135 estudià sistemàticament les possibilitats de fer poemes amb versos d'una mora, de dues mores, de tres mores, etc. segons el tipus de síl·laba que es fes servir. I el que trobà fou la mateixa successió que Fibonacci.

En el gràfic, les síl·labes curtes d'una mora estan representades per un quadrat de color carabassa mentre que les síl·labes llargues de dues mores estan representades per un rectangle verd. Com podem observar, així es genera també la successió de Fibonacci. Gopāla ja menciona el fet que cada terme és la suma dels dos anteriors.

Els anys bixests

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-03T10:22:50Z

2020. Enguany és un any bixest. Això vol dir que el mes de febrer ha tingut 29 dies en comptes de 28. I això ho fem, normalment, cada quatre anys. És a dir, l'any 2016 fou bixest i el 2024 també ho serà.

Quin és el motiu d'aquesta correcció quadriennal? Com explicar-ho als infants? Hom sap que el problema de quadrar el calendaris és que un any (una volta completa de la Terra entorn del Sol) no encaixa amb un nombre exacte de dies (voltes completes de la Terra sobre si mateixa). I com que la mesura de temps més evident que tenim és el dia, es faria estrany començar l'any nou a les 6 de la matinada.

Suposem que poguéssim fer una marca en el punt de l'espai en el que la Terra es troba (respecte del Sol) dia 1 de gener a les 00:00. Doncs quan hagin passat 365 dies complets, encara faltaran aproximadament 6 hores per arribar al mateix punt. Però com que són les 00:00, decidim començar un nou any. Quan hagin passat 365 dies complets més, ens tornaran faltar 6 hores respecte de l'any anterior i, per tant, 12 hores respecte del punt marcat inicialment. És a dir, ens estam avançant en comptes de celebrar el "vertader" cap d'any. L'any següent ens haurem avançat 18 hores i el quart any ens hauríem avançat, aproximadament, 24 hores. Per això, el quart any decidim afegir un dia més, esperar un dia més, per a celebrar el cap d'any de manera que, aproximadament, tornarem estar en el punt inicial.

El calendari romà antic no feia aquesta correcció i tots els anys eren de 365 dies. Això vol dir que a mesura que passava el temps, el calendari oficial s'anava avançant respecte del calendari natural, cada quatre anys un dia. Passats els segles aquest avanç es va fer evident i va arribar un moment en què ja celebraven el cap d'any i encara era tardor.

El calendari julià

L'any 46 aC, essent emperador Juli Cèsar, amb el consell de l'astrònom alexandrí Sosígenes, es va decidir allargar aquell any 90 dies per tornar col·locar el cap d'any al seu lloc i, a partir de llavors, afegir un dia cada quatre anys per evitar aquests desajusts. Acabaven d'inventar-se els anys bixests. Per això, al calendari reformat així se'l coneix com a calendari julià.

Aquest calendari seria perfecte si un any duràs 365,25 dies però, ai, en realitat un any solar dura 365,2421... dies. És a dir, que en realitat ens avançam un poquet menys d'un quart de dia cada any normal. Per tant, quan afegim un dia cada quatre anys, n'estam afegint una mica massa. Molt poquet, però de més. Altre pic, al cap dels anys, aquest desajust, aquest pic per excés, es va fer evident i el calendari oficial anava 10 dies endarrerit respecte del calendari natural. 10 dies que havíem anat afegint de més.

El calendari gregorià

L'any 1582, el Papa Gregori XIII, sota el consell del jesuïta i astrònom Christopher Clavius, decidí posar-hi remei. Ara, en comptes d'afegir, s'havien de llevar aquests dies. Per això promulgà la butlla pontifical Inter gravissimas el 24 de febrer d'aquell mateix any. En aquesta, el Papa manava que després de dia 4 d'octubre es passàs al 15 d'octubre, de manera que tornàvem col·locar el comptador a zero.

A Mallorca tenim un document històric magnífic que ho testifica. Es tracta d'una carta de Felip II dirigida a Antoni Oms, lloctinent i capità general del Regne de Mallorca. En ella li comunica que el dia siguiente despues de quatro de octubre deste presente año se ha de contar quinze...

(Carta de Felip II de 6 de setembre de 1582 trobada per Magdalena Rosselló i jo mateix amb el consell de P. de Montaner. Reproducció amb permís de l'arxiu del Regne de Mallorca, ARM, LR 90)

I per evitar seguir posant dies de més, es va decidir que no serien bixests els anys finiseculars, és a dir, el 1700, el 1800, el 1900... que segons el calendari julià, com que són múltiples de 4, ho haurien estat. Això vol dir que ara se'n treia un cada vint-i-cinc. I com que aquesta correcció en realitat es tornava quedar curta, es va decidir que un de cada quatre finiseculars seguís essent bixest.

Fixau-vos què va passar l'any 2000. Com que és un any múltiple de 4, hauria d'haver estat bixest. Però com que és finisecular no tocaria ser-ho. Però com que un de cada quatre finiseculars es deixa bixest i els 1700, 1800 i 1900 no ho havien sigut, el 2000 ho va ser. Per tant, el 2100, 2200 i 2300 no seran bixests i el 2400 ho tornarà ser.

Anècdotes

Teresa de Jesús va morir el 4 d'octubre de 1582 i fou enterrada l'endemà, el 15 d'octubre. Va morir amb el calendari julià i fou enterrada amb el calendari gregorià.

Miguel de Cervantes morí un 22 d'abril de 1616 mentre que William Shakespeare morí 11 dies després, el 23 d'abril de 1616. Això es deu al fet que Anglaterra va trigar molts anys a acceptar la reforma gregoriana i per tant la data anglesa encara fa referència al calendari julià que, traduïda al calendari gregorià, seria 3 de maig.

A l'acta capitular de la Seu de Mallorca de dimecres 3 d'octubre de 1582 li segueix, amb tota normalitat, l'acta del dimecres de la setmana següent, dia 20 d'octubre. (L'agraïment a Catalina Mas Andreu i a l'Arxiu Capitular de la Seu per facilitar la troballa d'aquests documents).

Preguntes que ens podem fer:

D'on ve el terme bixest?

Els romans no etiquetaven els dies de l'any com nosaltres, que anam sumant, sinó que comptaven els dies que faltaven per a cada un dels tres dies especials del mes i que, per això, tenien nom propi. El primer dia del mes era les kalendas (i d'aquí el nom de calendari), el 5è o 7è dia -segons el mes- eren les nonas i el 13è o 15è dia els idus. Amb aquest sistema, dia 24 de febrer era per als romans l'ante diem sextum Kalendas Martias. Però en els anys bixests, no afegien el dia al final de febrer, sinó que duplicaven aquest 24 de febrer i per això l'anomenaven ante diem bis sextum Kalendas Martias. D'aquí el terme bixest.

Com va afectar la vida de la gent aquest canvi de calendari julià a gregorià?

Com que el canvi suposava perdre 10 dies del mes, el despatx reial de Felip II especifica que els terminis de judicis i altres situacions s'hauran d'endarrerir aquests 10 dies i que, així mateix, els salaris s'hauran de rebaixar en la part proporcional.

El nombres triangulars

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-02T04:33:57Z

Si agafam els nombres més senzills, els nombres naturals, i l'operació més senzilla, la suma, estarem parlant dels nombres triangulars. En efecte, és coneix com a nombre triangular aquell nombre que es pot obtenir sumant els nombres naturals consecutius a partir de l'1. Així, els primers nombres triangulars seran:

1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10
...

El fet d'anomenar-los triangulars fa referència a aquesta bonica relació entre aritmètica i geometria que els alumnes de primària poden fer ben prest, proposant simplement la construcció de termes o figures successives.

Podria semblar que els nombres triangulars són una mera invenció matemàtica, però el cert és que han deixat un rastre important a nivell històric i cultural.

Per començar, en l'àmbit de la religió catòlica, el 3 (o en la seva versió geomètrica el triangle) és la representació de la divinitat. Per això segurament un dels primers logos ha estat aquest, el triangle.

(Imatge de Déu a Santa Maria d'Inca i triangle diví al portal major de Sant Bartomeu de Sóller)

De fet, l'ús dels nombres triangulars en els llibres bíblics sol estar associada a la referència divina. Vet aquí dos exemples rellevants. Sant Joan afirma al llibre de l'Apocalipsi que el nombre del dimoni és el 666. Doncs aquest és un nombre triangular (1+2+3+...+36). Així mateix, Sant Joan explica al seu evangeli (21:1-11) que els deixebles havien pescat 153 peixos quan feren el que els digué Jesucrist. I resulta que 153 és un nombre triangular (1+2+3+...+17).

En la història de les matemàtiques, hom pensa que els pitagòrics podrien haver tingut el 10 (1+2+3+4) com a símbol místic, precisament per ser la suma de totes les dimensions geomètriques (1 seria el punt, 2 la línia, 3 el pla i 4 l'espai). A aquesta figura l'anomenaven la Tetraktys.

Preguntes que ens podem fer:

Com evoluciona la paritat dels nombres triangulars?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... Per tant, observam que hi ha alternança de 2 parells i 2 senars. És interessant reflexionar sobre el perquè.

Com puc saber el resultat d'una suma triangular sense haver de sumar tots els termes?

Hi ha moltes maneres d'arribar a la solució. Una rajola quadrada tallada en diagonal ens pot ajudar a trobar un camí.

Com es veu, si volem sumar 1+2+3+4+5 quadradets, basta sumar la meitat del quadrat de 5x5 amb la meitat de 5.

Expressem aquest fet ara amb notació algebraica. Si anomenam triangular d'ordre n (T(n)) al nombre que suma els primers n-nombres naturals,

T(n) = n.n/2 + n/2 = n.(n+1)/2

La llegenda afirma, sense fonament històric, que Gauss calculà de ben jovenet, davant l'estupor del seu mestre, la suma de 1+2+3+...+100. Podeu veure una recreació a la pel·lícula Midiendo el mundo.

Què passa si sumam dos nombres triangulars consecutius?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... Fem proves de sumar dos termes consecutius:

1+3 = 4
3+6 = 9
6+10 = 16
10+15 = 25

Aquests resultats presenten sempre el quadrat perfecte d'un nombre natural. Això també és pot veure a la rajola, on la suma del triangular de 4 (10) i la suma del triangular de 5 (15) dóna 25, que és el quadrat de 5.

És a dir, que amb dos nombres triangulars consecutius, sempre podem construir un quadrat.

Què passa si ara anam sumant nombres triangulars consecutius des de l'1?

Que obtindrem uns altres nombres anomenats tetraèdrics, perquè amb la seva suma sempre es pot construir un tetraedre. A la fotografia següent, es pot observar la suma dels nombres triangulars 1+3+6+10+15 per formar el tetraedre de 5 pisos (cada pis és un nombre triangular) i 35 bolles.