SBM-XEIX

Tangències

Josep L. Pol i Llompart — 2024-12-23T23:54:26Z

Els temporals són sempre renovadors. I en la renovació hi ha sempre mort que dona pas a noves vides. Aquesta era una alzina de grans dimensions en un dels boscos antics d'Escorca. La rabassa esbucada posa al descobert una complexa xarxa de fibres on el joc de tangències i adherències és captivador. La imatge em fa pensar en els problemes geomètrics dels temples japonesos, els Sangaku, en els quals els mestres plantejaven sovint, sobre una tauleta de fusta, situacions de tangència.

Aquí no cal afegir res a la fusta. Hi trobam fibres de Jordan, tancades en si mateixes, tangents -tanmateix- a altres fibres que s'obren i van fent camí. Fibres, també, que quan es toquen esdevenen paral·leles durant un interval de camí per tornar-se a separar.

Sabem que en els punts de contacte les rectes tangents són idèntiques. Però la negació de la premissa no implica la negació de la conseqüència. Trobaríem també, punts en línies separades que comparteixen rectes tangents. I línies que es tornen ajuntar...

Una estrella de 15 puntes?

Josep L. Pol i Llompart — 2020-08-04T03:53:04Z

En uns grans magatzems em sorprèn aquest coixí. Una mena d'estrella de 5 puntes per triplicat. Sens dubte, una magnífica idea i una bona font de preguntes. Per començar... es pot fer amb un sol fil? I si fos de 6 puntes, també es podria fer per triplicat? Si giram el coixí, tendrem la mateixa figura? Anem a pams.

El pentacle o estrella de 5 puntes.

És un joc habitual entre els més petits, proposar que dibuixin l'estrella de 5 puntes d'un sol traç sense repetir cap línia. És allò que en topologia s'anomena camí eulerià (pel famós problema dels ponts de Königsberg resolt pel matemàtic suís Euler). La solució és gairebé trivial.

Però abans d'abordar el problema del coixí, serà bo veure què passa si provam de repetir l'estrella només dos pics, seguin un ordre homogeni en el pas del fil per sobre o per sota. En aquest cas, una imatge és gairebé imprescindible.

Suposem que hem començat el camí per A. Quan hauríem tancat la primera estrella, llavors seguirem el camí interior, per B (també haguéssim pogut anar per l'exterior i el raonament no canviaria). Llavors, en completar la segona estrella, veiem que el darrer cap (C) queda a l'exterior, com A, de manera que podem connectar els dos extrems i fer el pentacle doble d'un sol traç (un traç tridimensional i homogeni, és clar). És important tenir present que si anam per l'interior del primer traç, acabam a l'exterior del segon.

Podríem doncs, fer una volta més i enllaçar el primer cap amb el darrer? Tornem a mirar la imatge...

Suposem que decidim continuar C per l'exterior d'A (el cap d'A quedarà llavors enmig de dos fils). El final de la primera volta d'A, és el punt B. Seguint el que hem vist en el cas de dues voltes, sabem que si hem començat per l'exterior, ara serem a l'interior de B, com efectivament veiem que passa, de manera que NO podrem connectar els dos caps. El mateix passaria si haguéssim començat per l'interior d'A.

Per tant, com podríem fer aquest coixí? Se m'ocorren dues maneres:

Fer una estrella doble amb un fil i fer una estrella simple amb un altre fil, que anàs pel mig dels dos, de manera que els passos per sobre i per sota també serien alterns i homogenis.
O bé, que és el que ha decidit el fabricant, unir els dos caps inicial i final passant per damunt de B, en un pas que treu la homogeneïtat al coixí, tal i com es pot veure a la imatge.

Anem a la segona pregunta. Es podria fer una estrella de 6 puntes? El fet que el nombre de puntes sigui parell, impedeix seguir la idea de recórrer totes les puntes de forma alterna. És a dir, en la de 5 puntes, el fil va traçant successivament la 1a punta, la 3a i la 5a, en una primera volta, i la 2a i la 4a en una segona volta, de manera que en tancar el primer cicle, en haver fet dues voltes, les ha recorregut totes. Si el nombre de puntes és parell, la primera volta passarà per les puntes d'ordre imparell, però la volta següent ho tornarà a fer, de manera que no és podria construir.

Respecte de la pregunta de què veurem si giram el coixí, la resposta és que veurem el mateix, fins i tot amb la petita "trampa" del fabricant en la mateixa disposició. Això vol dir que si la tela fos absolutament uniforme, no podríem saber quina de les dues cares estam mirant sense marcar-ne una.

Però si quan hem fet la trunyella haguéssim invertit els passos de "sobre" i "sota", llavors hauríem tengut la imatge especular del coixí, que en realitat tendria la mateixa estructura però no seria superponible. Allò que en química s'anomena quiralitat en referència al cas de les mans. En aquest cas, sí que podríem distingir un coixí de l'altre però, en qualsevol cas, una vegada fabricat, seguiríem sense poder distingir les seves dues cares.

Quan els múltiples i divisors entren per la vista

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-17T09:49:11Z

Múltiples i divisors a través de les matemàtiques, la física i... l'art?

El següent vídeo presenta una situació de moviment armònic (pèndols) que atrau poderosament l'atenció. És vertaderament hipnòtic. Explicar-ho passa només per un concepte matemàtic tan elemental (però potser no tan senzill) com és el de múltiple/divisor.

https://www.youtube.com/watch?v=JsIgubUjTck

Abans de llegir la resta de l'article, potser et farà gràcia dur a terme la següent...

Proposta didàctica

1. Mira què dura un cicle complet (des del principi fins que totes les bolles tornin estar alineades).
2. Compta quantes oscil·lacions fa cada bolla en un cicle complet. (No és tanta feina com sembla)
3. Apunta els moments (aprox.) en què apareixen agregats singulars, és a dir, files de bolles (2, 3, 4...)
4. Resta 4 s (que és quan el cicle comença) a cada moment apuntat a l'apartat 3.
5. Descobreix (!) com aquests moments corresponen (aprox.) a fraccions simples del temps total (86 s).

Recollida de dades

Comencem per mirar quant de temps passa entre l'inici de l'oscil·lació i el moment en que totes les bolles tornen estar (aproximadament) alineades. Aquestes dues dades són:

Inici: 0:04
Final: 1:30
Això dóna un temps d'oscil·lació global de 86 s.

Mirem ara quantes oscil·lacions fa cada bolla.

La groga de més a prop, B1, realitza 53 oscil·lacions.
La segona bolla, blava, B2, realitza 54 oscil·lacions.
La tercera bolla, vermella, B3, realitza 55 oscil·lacions.
....
No cal comptar més. Comprovem simplement que...
...la darrera bolla, de franja roja, B15, realitza 67 oscil·lacions.

No és magnífic? (Si ho pensam bé, no podia ser d'altra manera)

Si ja sabem quantes oscil·lacions (n) fan totes les bolles en 86 segons, podem calcular el període (T) de cada una, és a dir, quant de temps tarda en fer 1 oscil·lació completa

Fem ara, algunes consideracions matemàtiques senzilles i tornem a mirar el video.

1. Quantes oscil·lacions haurà fet cada bolla a la meitat del temps? Això passarà per dividir el nombre d'oscil·lacions totals de cada bolla entre 2.

1a bolla. Si en 86 s feia 53 oscil·lacions, en 43 s en farà 26,5. Això vol dir que aquesta mitja oscil·lació que passa de 26 la col·locarà a l'altre costat de la posició de sortida.

2a bolla. Si en 86 s feia 54 oscil·lacions, en 43 s en farà 27. Això vol dir que aquesta bolla sí que estarà en la mateixa posició de sortida.

I per tant, aquesta situació s'anirà alternant segons partim d'un nombre parell o senar:

Visualment, 43 segons després d'haver començat el moviment (04+43 = minut 0:47) haurem de veure les bolles de posició imparell a l'esquerra i les de posició parell a la dreta. És a dir, dues files de bolles. Comprovem-ho!

Això ens indica, com ja sabíem, que 2 és un divisor comú de 54, 56, 58, 60, 62, 64 i 66. (Dit d'una altra manera, que 43 s és un múltiple comú de tots els períodes de les bolles que estan en posició parell.)

Si tornam mirar el vídeo, comprovarem que aquesta situació no s'ha produït cap altra vegada durant els primers 43 s. Per tant, 2, a més de ser un comú divisor dels nombres parells, serà el màxim comú divisor. (Dit d'una altra manera, 43 és el mínim comú múltiple dels períodes de les bolles que estan en posició parell.)

2. Quantes oscil·lacions haurà fet cada bolla en un terç del temps total? Això passarà per dividir el nombre d'oscil·lacions totals de a cada bolla entre 3.

1a bolla. Si en 86 s feia 53 oscil·lacions, en 28,67 s en farà 17.67. Això vol dir que la bolla estarà de tornada cap a la posició inicial.

2a bolla. Si en 86 s feia 54 oscil·lacions, en 28.67 s en farà 18. Això vol dir que estarà a la mateixa posició de sortida.

3a bolla. Si en 86 s feia 55 oscil·lacions, en 28.67 s en farà 18.33. Això vol dir que la bolla estarà de camí cap a l'altre costat.

4a bolla. Si en 86 s feia 56 oscil·lacions, en 28.67 s en farà 18.67. Això vol dir que la bolla estarà de tornada cap a la posició inicial.

Per tant, en 28.67 s tendrem només tres posicions diferents que ocuparan les bolles alternament.

Visulament, quan hagin passat quasi 28.67 segons (04+29 = minut 0:33), haurem de veure 3 línies de bolles. Comprovem-ho!

Això ens indica, com ja sabíem, que 3 és un divisor comú de 54, 57, 60, 63 i 66. (Dit d'una altra manera, que 28.67 és un múltiple comú de tots els períodes de les bolles que estan en posició 1, 4, 7, 10 i 13.)

Si tornam mirar el vídeo, comprovarem que aquesta situació no s'ha produït cap altra vegada durant els primers 28.67 s. Per tant, 3, a més de ser un comú divisor dels nombres citats, serà el màxim comú divisor. (Dit d'una altra manera, 28.67 és el mínim comú múltiple dels períodes de les bolles corresponents.)

El mateix podríem fer dividint el temps total per 4, per 5... T'animes?

Conclusions

Estam davant una manera magnífica de veure com es poden captar els termes divisors i múltiples mitjançant la vista i sense conceptes previs.

La seqüència de punts singulars visibles quedaria de la següent manera:

0.04 Inici (una fila de bolles)
0:21.2 Un cinquè (no és fàcil de veure, però s'intueix)
0:25.5 Un quart (es veuen quatre files)
0:32.67 Un terç (es veuen tres files)
0:38.4 Dos cinquès (no és fàcil de veure, però s'intueix)
0:47 La meitat (es veuen perfectament les dues files) (coincideix amb les dos quarts)
0:55.6 Tres cinquès (no és fàcil de veure, però s'intueix)
1:01.33 Dos terços (es veuen tres files)
1:08.5 Tres quarts (es veuen quatre files)
1:12.8 Quatre cinquès (no és fàcil de veure, però s'intueix)
1:30 Final (totes les bolles tornen ser a la posició inicial)

Entendre aquest moviment és un bon entrenament per entendre l'harmonia de la música ja que la freqüència de les notes musicals, els seus acords (el que fa que uns acords sonin bé i altres no), i els harmònics dels sons (el que defineix els timbre dels instruments) s'expliquen en aquests termes.

De la mateixa manera que en el vídeo hi ha moments en què les posicions de les bolles "encaixen", els sons les freqüències dels quals compleixen relacions senzilles (dobles, triples, quàdruples...) també encaixen, és a dir, sonen bé. Però això ja serà un altre article...

Corona de llum

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-27T08:07:10Z

(14è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

La pluja d'ahir, 26 de març de 2020, ens deixà imatges com aquesta, captada per una veïnada de Ca N'Ai a Sóller. L'arc de sant Martí, aquesta corona de llum, és un efecte òptic conegut de tothom encara que no sempre en tot el seu detall. Ho paga entretenir's-hi una mica.

Comencem pel paral·lelisme històric. Era l'any 1665, a entrada d'hivern, quan Londres fou assotada per un brot de pesta causat pel bacteri Yersinia pestis. Aquesta s'originà a la ribera del Tàmesi i les autoritats decretaren el confinament de la població. Però aquest confinament no va ser obeït i en voler reaccionar era massa tard. La malaltia es cobrà 100.000 morts, una quarta part de la població de la ciutat.

En aquells moments, Newton era un jove de 23 anys i la seva família, molt encertadament, l'envià a fora vila, a la granja familiar. Aquell hivern entre 1665 i 1666 el coneixem avui com a l'annus mirabilis newtonià, perquè durant aquest període Newton, aïllat del món però ja amb un bagatge científic de primera magnitud, formula la llei de la Gravitació Universal, posa les bases del càlcul infinitesimal, generalitza el teorema del binomi que porta el seu nom i estudia la naturalesa física de la llum a partir de fets com la refracció de la llum que produeixen els prismes o les gotetes de pluja amb els raigs de sol.

(Imatge d'Isaac Newton al museu de cera de Londres)

L'arc de Sant Martí és un efecte òptic que consisteix en el descabdellament de les diferents longituds d'ona que porta un raig de llum solar aparentment blanca. Aquest fenomen es coneix com a refracció i té lloc pel fet que quan un raig de llum canvia de mitjà de propagació (en aquest cas quan passa de l'aire a l'aigua i a l'inrevés) sofreix una desviació. Aquest angle de desviació és més gran com més alta és la freqüència de la radiació. És a dir, el blau es desvia més que el vermell. En el cas de les gotes de pluja, dues refraccions (1 i 3) es combinen amb una reflexió (2) com podeu veure a l'esquema següent.

L'angle que hi ha entre el raig de sol incident i el raig de color que reben els nostres ulls és de 40º per al violeta i 42º per al vermell. Pel mig, tots els altres colors. Com que a tots els efectes podem considerar que els raigs de sol arriben paral·lels a la Terra, això vol dir que el centre d'un arc de Sant Martí estarà sobre la línia Sol-Observador, és a dir, sempre davant nostre amb el sol a l'esquena. Per tant, com més baix estigui el sol, més amunt estarà aquest centre i més gran veurem l'arc. Com a màxim, veurem mitja corona.

Per acabar, fixem-nos en un detall que pot portar a confusió. Si a la realitat -mirau la fotografia- el color vermell està a la part de dalt, com és que a l'esquema el raig vermell va per davall el blau? La resposta és que nosaltres no veiem més que un raig dels que refracta cada gota. Si d'una gota veiem el blau, com que el raig vermell porta més inclinació respecta de l'horitzontal, haurem d'alçar el cap per veure el raig vermell d'una altra gota que estarà més amunt.

Mentre tant, na Maria i na Julia han penjat aquest esperançador missatge...

Corones de cel·lulosa

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-25T04:27:20Z

(12è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

Quan aquesta pandèmia hagi acabat, una de les anècdotes que quedaran en la memòria de la gent serà, segurament, aquesta neurosis d'acumular paper higiènic, aquesta corona cilíndrica de paper de cel·lulosa.

Plantegem-nos d'entrada un exercici de mesura que, com tots aquests exercicis, hauria de passar per un exercici d'estimació inicial. Farem primer les preguntes per si el lector o la lectora vol investigar pel seu compte.

Quina amplada té la tira de paper?
Quina llargada té cada trosset?
Quants trossets hi ha en tot el rotlle?
Quines dades addicionals necessit per poder calcular la gruixa del paper?
Què pesa un bocí de paper?

Respondre a les dues primeres preguntes passa per fer una mesura directa. Utilitzam per a això un regle estàndard. Els resultats són 9,5 cm d'amplada per 12,4 cm de llargada cada boci perforat en el model que tenim a l'abast.

L'estimació de quants trossets hi ha en un rotlle és força difícil i passa, quin remei, pel recompte directe. Si no ens hem descomptat, ens surten 325 bocins que, a raó de 12,4 cm cada un, ens dóna un total de longitud de 40 m (i 30 cm).

Com veim, molt paper en molt poc espai i és que, com deia Jorge Wagensberg, l'espiral compacta. Com ho podríem fer per saber quina és la gruixa del paper? D'entrada, queden descartats tots els instruments de mesura clàssics com regles, flexòmetres, etc. S'imposa utilitzar les dades anteriors per calcular-ho. Necessitam, a més, saber el radi menor i el radi major de la corona de paper.

La mitjana de radis que hem obtingut amb diverses mesures sobre diversos rotlles, és de 1,9 cm per a la cara exterior del cilindre de cartó, on comença el paper, i de 5,7 cm per al radi major. Com ho feim per calcular el nombre de voltes?

Un model prou acurat i senzill de càlcul seria suposar que el paper, en comptes d'estar enrotllat en espiral, en realitat forma circumferències concèntriques el radi de les quals va augmentant progressivament la gruixa del paper. Aquesta suposició, que seria exacta en el cas de la primera volta, ha de ser bastant fiable per la finesa del paper. Això voldrà dir que els 40 m de paper seran la suma de termes d'una progressió aritmètica, ja que la longitud de la circumferència és proporcional al radi i aquest, com hem dit, serà una successió de termes des de 1,9 fins a 5,7 cm amb una diferència "d" igual a la gruixa del paper. Ho tenim tot doncs.

Ara, recordant que la suma de termes d'una progressió aritmètica és la mitjana entre el primer i el darrer terme multiplicada pel nombre de termes, tendrem que

4030 = 2.pi.(1,9+5,7).n/2 i per tant, n= 169 voltes

La gruixa del paper està relacionada amb el nombre de circumferències de manera que 3,8/n =d i per tant d= 0,225 mm

Corona planetària

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-23T15:58:10Z

(10è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

L'aplicació skymap és una bona eina del mòbil tant per reconèixer estels i planetes durant la nit com per fer el seguiment de qualsevol astre a qualsevol hora del dia.

Divendres passat, 20 de març de 2020, equinocci de primavera, la pantalleta del mòbil ens presentava aquesta vista de la quasi alineació entre la Terra (el nostre punt de vista), Mart i Júpiter, el gegant gasós. La superposició de Mart sobre Júpiter ens forma una corona circular excèntrica que seria la superfície que queda visible de Júpiter.

Però realment passava això? Què haguéssim vist si haguéssim disposat d'un telescopi real? La grandària aparent d'un astre es mesura normalment amb l'angle que abraça el seu diàmetre des de la nostra posició.

Quines dades necessitam per a fer aquest càlcul? La distància de la Terra a Mart oscil·la entre poc més de 50 milions de quilòmetres, en el cas de les conjuncions més favorables (alineats al mateix costat del Sol), i quasi 400 milions en el cas de les oposicions més desfavorables (el Sol enmig). Aplicant fórmules de trigonometria elemental i sabent que el radi de Mart és gairebé la meitat del de la Terra, és a dir, quasi 3400 km, sabrem que la mesura visual angular de Mart oscil·larà entre 3,5" i 25,6". És a dir, un puntet de llum a simple vista.

Per al cas de Júpiter, aquest gegant de quasi deu vegades el diàmetre de la Terra (i, per tant, quasi 1000 vegades el nostre volum), la distància a la Terra variarà entre uns 590 milions de quilòmetres en el cas de les conjuncions més favorables i 970 milions de quilòmetres en el cas de les oposicions més desfavorables. Això dóna una grandària angular d'entre 1,5" i 48".

Per tant, efectivament, la proporció aparent entre els radis dels dos astres potser com la presentada a l'skymap on, fent una estimació visual, els radis tenen una relació de poc més d'un terç.

Però si miram la proporció de Júpiter entre les línies horàries del cel a l'aplicació (24 hores = 360º) que és aproximadament 1/5 d'hora, en resulta un diàmetre presentat de 3º i, per tant, la seva grandària s'ha magnificat... 216 vegades!!!

(La qual cosa significa que a la realitat els dos astres es veien ben separats.)

Corones de garballó

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-19T05:42:08Z

(6è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

A Mallorca, els cordats de cadires i tibulets es feia habitualment amb corda de garballó (Chamaerops humilis). La palma tendra d'aquesta petita palmàcia, l'única pròpia de les Illes Balears, era obrada normalment per dones -però també homes- majors a casa. Fa uns anys encara quedaven artesanas a s'Arracó, Artà, Capdepera...

Els tibulets són petits espais on la cultura popular hi va desenvolupar una geometria senzilla. Alguns dels cordats s'anomenen espina de peix, gra d'ordi o, com és el cas de la fotografia, mirallet.

Des d'un punt de vista matemàtic, els dibuixos d'un tibulet es poden codificar fàcilment a partir del codi binari, perquè en realitat, per a cada punt d'intersecció de corda només cal saber si la tirada horitzontal (per exemple) va per damunt o per davall. És a dir,1 o 0.

Si ara miram el quadradet central, podem fer-nos la pregunta de quants quadradets com aquest tendran les corones successives que l'envolten, com les que estan destacades a la imatge següent (el punt central, per tant, no el considerarem corona).

Es tracta d'un senzill però interessant exercici de relació entre geometria i aritmètica. Com quasi sempre, tenim diverses maneres d'arribar-hi. La primera, comptant. El nombre de quadradets que tenen les corones successives és 8, 16, 24, 32... és a dir, la taula del 8. En llenguatge algebraic, 8n.

Ara podem pensar cada corona com a formada per quatre rectangles. Llavors, el nombre de quadrats el podrem comptar com la taula del quatre però agafant només els nombres parells. O sigui, 4.(2n)

Per tant, efectivament, 8n = 4.(2n). I ara encara podem pensar cada corona com la resta d'un quadrat menys el de dintre, tenint en compte que els quadrats de referència seran només els dels nombres senars (2n+1) començant pel quadrat de 3.

Caldrà acceptar, per tant, que la taula del vuit es pot generar com a diferència del quadrats consecutius dels nombres senars. És a dir, que

Glebionis coronaria

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-18T12:59:47Z

(5è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

Les margalides de camp són una de les plantes que en aquests moments previs a l'entrada de la primavera ja entapissen els nostres camps. El nom científic que tenia fins no fa molt era Chrysantemum coronarium però, sigui com sigui, ambdós noms al·ludeixen al fet que era una planta que s'emprava per fer corones. Segons Francesc Bonafè (Flora de Mallorca), a Menorca li diuen bòlitx i a Mallorca també li diuen sordonaia. (Trobareu una descripció botànica acurada a l'herbari virtual de la UIB)

Les margalides són flors compostes. És a dir, la unitat que vulgarment anomenam flor, és en realitat un conjunt immens de petites flors reunides en una plataforma que els botànics anomenen capítols. Aquestes flors estan inserides de manera que tant en un sentit com en un altre, formen espirals. Si comptam el nombre d'espirals, trobarem dos termes consecutius de la successió de Fibonacci. (La successió de Fibonacci és aquella que comença per 1 i 1, i va sumant sempre els dos darrers termes. És a dir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...)

A continuació ho podeu comprovar amb la fotografia d'una flor que s'ha manipulat per facilitar el comptatge d'espirals en un sentit i un altre: 21 i 34. No és magnífic?

Doncs encara ho podem acabar d'aclarir fent la divisió d'aquests dos termes. En efecte, 34/21 = 1,619... és a dir, la proporció àuria. Aprofitant que som a casa, podríem descobrir aquesta proporció en la nostra pròpia natura. Descalçau-vos, mesurau la vostra alçada i l'alçada del vostre llombrígol. Dividiu els dos nombres i...

(Altra mirada relacionada: aromes muntanyenques)

Una corona de circumferències

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-16T08:20:22Z

(3r dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

Un dels aprenentatges experimentals que hom pot fer des de ben jove, és el que ens mostra la fotografia. És a dir, que un cercle (salvant les distàncies, a la imatge) es pot envoltar d'una corona de sis cercles iguals tangents entre sí.

Una primera ullada ens diu que la circumferència que circumscriu aquests sis cercles (la vora del plat que els conté si el plat fos un poc més petit) tindrà un radi de longitud triple que el dels cercles inscrits.

També podem recordar que si seguim col·locant tomàtigues així, aquesta serà la millor manera d'empaquetar cercles, tal i com va demostrar Gauss. (Podeu consultar una altra mirada a Ciència de la Fira II)

Però en realitat, això no és més que un cas particular del teorema dels 7 cercles, que afirma que si inscrivim una corona de 6 cercles (no necessàriament iguals) tots ells tangents a l'interior d'una circumferència donada i tangents també cada un amb els seus dos veïns, les tres rectes que uneixen els punts de tangència de parells oposats, es tallen en un sol punt. Aquest teorema no fou descobert fins el 1974 per Evelyn, Money-Coutts, i Tyrrell. Aquí teniu una imatge tractada amb el GeoGebra.

Epitafi al quilogram

Josep L. Pol i Llompart — 2019-05-19T14:33:50Z

Amigues, amics,

Ens trobam aquí reunits per retre homenatge al més vell del nostre amics. Un amic vertader perquè ens ha acompanyat, tot i la diferència de generacions, durant tota la nostra vida, com fan només els amics més fidels.

Ell era allà, efectivament, a la nostra vora, en els moments immediats del nostre naixement, quan la comare ens va posar sobre la bàscula i va apuntar: 3 kg 300 g. És possible que degut a això, aquest efecte que els científics anomenen empremta, quedàssim lligats a ell de per vida.

Ell va estar sempre al nostre costat. En els moments alegres, quan cada any de creixement significava també un pes creixent. En els moments de riure, quan demanàvem a algú altre què pesava més, un quilo de palla o un quilo de plom? I no se va allunyar de nosaltres quan arribaren temps més difícils, especialment ara que hem deixat de créixer en alçada però seguim tenint un pes creixent.

Ell ens animava cada primavera a preparar junts l'operació bikini, encara que l'insultàssim, l'arraconàssim o, fins i tot, podem ser sincers ara que ja no hi és, el duguéssim a Deixalles.

És ver, no el ploram perquè hagi tengut un traspàs prematur: 130 anys testifiquen una llarga vida. Però de fet, aquesta reunió d'avui no és més que la crònica d'una mort anunciada. Havia començat a perdre pes i tot indicava que s'acostava el final. Quan vàrem saber que havia perdut 50 micrograms ens vam horroritzar. Com podia ser que es mantingués dret?

Les tres campanes de vidre, tancades amb tres claus que el protegien del fred parisenc, no han pogut fer res per aturar el desenllaç. Amb ell ha finit la nissaga dels patrons materials. Una estirp que va perdre el seu germà gran, el metre, ara fa 36 anys.

Potser no és el moment de retreure res, però el fet que ell anàs perdent pes feia que nosaltres el guanyàssim i això, segurament, li creà molts enemics. Alguns mitjans, fins i tot, han arribat a parlar d'assassinat. Potser algun dia ho aclarirem.

Avui es presentarà davant la comunitat internacional el seu substitut. Impecable, intangible, etern, basat en la constant de Plank, sí, sí, Max Plank, el responsable de la mecànica quàntica. Però per a nosaltres, un quilo, serà sempre el germà bessó d'aquella peceta de platí i iridi, aquell cilindre de 39 mm de diàmetre i 39 mm d'alçada que podrem visitar, embalsamat, en algun museu parisenc.

Descansi en pau.
20 de maig de 2019