Els nombres de Fibonacci

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-06T09:05:57Z

(Representació escultòrica de Fibonacci, obra de Giovanni Paganucci -1863- ubicada al cementiri monumental de Pisa. Imatge de lliure distribució extreta de pxhere.com)

Fibonacci, el nom del qual era, en realitat, Leonardo de Pisa, feu públic al 1202 un dels llibres més famosos en la història de les matemàtiques: el Liber Abbaci. Aquest llibre és especialment important perquè impulsa definitivament la substitució dels nombres romans pels nombres indoaràbics a Europa (ja hi havia hagut incursions anteriors, com els estudis de Gerbert d'Orlhac, el Papa Silvestre II, poc abans de l'any 1000).

Fibonacci és recordat, principalment emperò, per redactar un problema -en aquest mateix llibre- sobre la reproducció de conills. La solució d'aquest problema és l'anomenada successió de Fibonacci i ve donada pels termes:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

En aquesta successió, es defineixen els dos primers termes com a 1, i a partir de llavors, cada terme es calcula fent la suma dels dos anteriors. Al cap dels segles, aquesta successió s'ha revelat d'una fecunditat i harmonia natural inimaginables. De fet, el mateix Fibonacci va morir sense saber res de les seves aplicacions.

Presència en el món de les plantes

Molt sovint, la disposició sobre una planta de fulles, flors, llavors, bràctees... apareix en formes espirals o helicoïdals. Si comptam el nombre d'espirals o helicoides en un sentit i en l'altre, descobrirem que en un percentatge altíssim aquests nombres són dos termes consecutius de la successió de Fibonacci. Fixau-vos en les espirals d'una pinya de pi (Pinus halepensis):

Per poder-les comptar millor, hem "pintat" les espirals en un sentit i en un altre.

Descobrim que les espirals que creixen en sentit horari són 8, mentre les espirals que creixen en sentit anti-horari són 13. Efectivament, dos termes consecutius de la successió de Fibonacci.

(Podeu veure un altre exemple en les flors de la camamilla de muntanya en aquesta mirada matemàtica)

Característiques matemàtiques

Sembla mentida que una "simple" successió numèrica com aquesta, pugui tenir la immensa quantitat de propietats que presenta. Fem només algunes observacions senzilles:

Alternança de paritat

És interessant veure com aquesta alternança es produeix amb la seqüència de dos senars i un parell i esbrinar per què.

Màxims comuns divisors

El màxim comú divisor de dos nombres de Fibonacci és sempre un altre nombre de Fibonacci. Podem comprovar-ho, per exemple, si prenem el 21 i el 144. MCD (21, 144) = 3, que també és un nombre de Fibonacci.

Nombre auri

La divisió d'un nombre qualsevol de Fibonacci entre l'anterior, té com a resultat un nombre molt proper al nombre auri (φ= 1,61803...). Com més grans siguin els termes, més proper serà el resultat.

8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615...
34/21 = 1,619...

S'ha de puntualitzar que aquest resultat és vàlid no només per a la successió de Fibonacci, sinó per a qualsevol successió que tingui la mateixa llei de recurrència, és a dir, que generi els seus termes sumant els dos termes anteriors independentment de quins siguin els dos termes inicials.

La fórmula de Binet

Tot i que normalment els termes de Fibonacci s'obtenen mitjançant la seva llei de recurrència (sumant els dos darrers termes s'obtén el següent), l'any 1843, Jacques Philippe Marie Binet trobà el terme general de la successió que ens permet obtenir qualsevol terme directament. Contràriament al que sembla dir el nom, Binet no fou el primer en trobar-la i un segle abans, ja era coneguda per De Moivre, Euler o Daniel Bernoulli. (φ és el nombre auri: 1,618...)

Curiositats

La branca de la botànica que estudia com s'insereixen en una planta les fulles, flors, bràctees, llavors... s'anomena Fil·lotaxi. No és increïble la semblança d'aquesta paraula (en grec, orientació de les fulles) amb el nom de Fibonacci?

Si numeram les lletres de l'alfabet (a=1, b=2, c=3...) i miram quines ocupen posicions de Fibonacci, és divertit formar paraules "àuries". Descobrirem que el mestre de Leipzig, Bach, és completament auri.

Preguntes que ens podem fer

Quin era el problema dels conills?

En un corral hi ha una parella de conills acabada de néixer. Aquesta parella, al cap d'un mes, encara no és fèrtil, però a partir del segon mes tindrà una nova parella de conills cada mes les quals, també a partir del segon mes de néixer, tindran una nova parella de conills i així successivament. Quantes parelles hi haurà en el corral a mesura que passin els mesos suposant que cap conill es mori?

Per què la successió rep el nom de Fibonacci?

Fou al segle XIX quan el matemàtic francès Édouard Lucas anomenarà a aquesta seqüència la successió de Fibonacci, pensant segurament que el matemàtic pisà havia estat el primer en descriure-la en la secció tercera del seu Liber Abbaci. Però en realitat tenim un precedent preciós, quasi un segle abans, de la mà del poeta indi Gopāla.

En efecte, hi ha una variant de la poesia sànscrita de la Índia, els matra-vrttas, en la que el que es compta són les mores i no les síl·labes. En sànscrit, igual que en altres llengües, les síl·labes poden ser llargues o curtes. Si són curtes, es diu que tenen una mora i, si són llargues, dues.

Gopāla, devers els anys 1133-1135 estudià sistemàticament les possibilitats de fer poemes amb versos d'una mora, de dues mores, de tres mores, etc. segons el tipus de síl·laba que es fes servir. I el que trobà fou la mateixa successió que Fibonacci.

En el gràfic, les síl·labes curtes d'una mora estan representades per un quadrat de color carabassa mentre que les síl·labes llargues de dues mores estan representades per un rectangle verd. Com podem observar, així es genera també la successió de Fibonacci. Gopāla ja menciona el fet que cada terme és la suma dels dos anteriors.

SBM-XEIX

Els nombres de Fibonacci