L'arrel quadrada de dos

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-31T09:12:58Z

(Tauleta babilònica YBC 7289, 1800-1600 aC, Yale Babylonian Collection. Reproducció: Pilar Sastre)

Dibuixau quadrats de diferents grandàries. Mesurau ara les seves diagonals i els seus costats i feis les divisions d'aquestes dues mesures per a cada quadrat. Descobrireu que la relació diagonal/costat és sempre un mateix nombre, una constant, que s'acosta molt a 1,41... és a dir, a l'arrel quadrada de dos.

En el cas de la rajola de la fotografia, dividiríem 47/33 = 1,42... una aproximació prou bona.

Si ara pensam la relació a l'inversa, això voldrà dir, naturalment, que si sabem la longitud del costat d'un quadrat, multiplicant aquesta per l'arrel quadrada de dos, tendrem la seva diagonal. Fa més de 3500 anys, els savis babilonis ja ho sabien com ho demostra la tauleta que teniu a la fotografia inicial.

En la tauleta d'aquella fotografia, els símbols que apareixen són les mesures (en sistema sexagesimal) del costat, de la diagonal i l'arrel quadrada de dos. (Trobareu una descripció acurada de la tauleta a YBC 7289)

Aquesta idea de les relacions constants (la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre és sempre el nombre pi, la relació entre la diagonal i el costat d'un pentàgon regular és sempre la proporció àuria...) és una idea potent i fonamental que hauria de descobrir tot alumne/a en els darrers anys de la seva Educació Primària.

L'arrel quadrada de dos està present en diversos àmbits de la vida quotidiana. Aquí teniu alguns exemples relevants:

El sistema DIN de paper
El sistema DIN va fixar que la relació entre la longitud i l'amplada d'un paper fos precisament l'arrel quadrada de dos. Aquest fet permet que quan xapam un full DIN A4 per la meitat, els dos fulls resultants -DIN A5- conservin la proporció, és a dir, la divisió llargada/amplada segueixi sent l'arrel quadrada de dos.

L'escala temperada
Tal i com s'afinen actualment els instruments, si multiplicam la freqüència d'una nota per l'arrel quadrada de dos, obtindrem la freqüència d'una nota que ha pujat 6 semitons, és a dir, en llenguatge musical, una quarta augmentada. Això vol dir que si el "la" de referència (la3) vibra a 440 Hz, el re# superior ho farà a (440 x 1,4142) o sigui a 622,25 Hz (cicles per segon).

Preguntes que ens podem fer:

Puc saber l'arrel quadrada de dos de manera exacta fent la divisió de entre la diagonal i el costat d'un quadrat?

És impossible perquè els dibuixos o les construccions reals no són mai perfectes i les mesures no són -ni seran- mai exactes. Això vol dir que de manera pràctica no es poden saber més que les primeres xifres decimals.

Quantes xifres decimals té l'arrel quadrada de dos?

L'arrel quadrada de dos és un nombre irracional. Això vol dir que la seva expressió decimal té infinites xifres no periòdiques. Una manera d'anar-les calculant (les primeres, clar) és per iteració. És a dir, anar provant. En realitat aquest és el mètode en el que es basa l'algoritme clàssic de càlcul. Actualment se n'han calculat -per altres vies- més de cent mil milions.

Si la relació geomètrica no serà mai exacta, com podem saber que el nombre que teòricament surt és l'arrel quadrada de dos?

Pel teorema de Pitàgores. De fet, l'arrel quadrada de dos també ha estat coneguda com a constant pitagòrica.

S'ha d'ensenyar a calcular arrels quadrades a mà?

L'algoritme de l'arrel quadrada no aporta cap coneixement interessant per a l'alumnat. Per això, quan necessitam calcular algunes xifres decimals d'una arrel quadrada, ho feim amb la calculadora, el mòbil, el full de càlcul...

La flor de 6 pètals

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-30T03:45:54Z

Una de les construccions geomètriques més populars i coneguda des d'antic és la flor de 6 pètals inscrita en una circumferència. El fet que el radi d'una circumferència ens doni exactament la longitud dels costats de l'hexàgon regular inscrit és una propietat que els alumnes poden i han d'experimentar des del seu primer contacte amb un compàs.

A Mallorca (i a tot el món), quan una planxa ha de deixar passar l'aire, sovint li es practicada aquesta figura. És el cas de cisternes, portes de rebost, gelosies, etc.

No hi ha dubte que l'hexàgon estrellat més gran inscrit en una circumferència que podem trobar a les Illes Balears és a la rosassa major de la Seu, l'Oculus Maior, construït al s. XIV, d'11,4 metres de diàmetre.

Els hexàgons regulars, per la seva facilitat de construcció, ja eren coneguts per les civilitzacions mesopotàmiques i egípcia. Però el primer escrit que parla del traçat amb regla i compàs d'aquesta figura geomètrica inscrita en una circumferència el trobam, com no podia ser d'altra manera, en els Elements d'Euclides (s. III aC). Concretament en la proposició XV del llibre IV. La construcció es descriu de la següent manera:

1- A partir del centre C dibuixa la circumferència principal. 2- Marca un punt P de la circumferència i traça la recta que passa per P i C. D'aquesta manera, obté el punt oposat Q. 3- Dibuixa la circumferència o arc amb centre P que passi per C. D'aquesta manera obté els punts R i S. 4- Ara traça la recta que passa per R i C i obté el punt T. 5- Igualment traça la recta que passa per S i C i obté el punt U.

Preguntes que ens podem fer:

Per què l'hexàgon inscrit en una circumferència té la propietat que el seu costat és igual que el radi d'aquesta circumferència?

Un hexàgon regular es pot dividir en 6 triangles equilàters. De fet, la construcció exposada comença pels dos triangles equilàters superiors. En aquests triangles equilàters està clar, per definició i per construcció, que els radis són iguals que els costats exteriors. I com que els tres angles són iguals i han de sumar 180º, llavors cada angle és de 60º. Per tant, podrem tancar la circumferència amb 6 triangles per formar l'hexàgon.

SBM-XEIX

L'arrel quadrada de dos

La flor de 6 pètals