SBM-XEIX

Els nombres de Fibonacci

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-06T09:05:57Z

(Representació escultòrica de Fibonacci, obra de Giovanni Paganucci -1863- ubicada al cementiri monumental de Pisa. Imatge de lliure distribució extreta de pxhere.com)

Fibonacci, el nom del qual era, en realitat, Leonardo de Pisa, feu públic al 1202 un dels llibres més famosos en la història de les matemàtiques: el Liber Abbaci. Aquest llibre és especialment important perquè impulsa definitivament la substitució dels nombres romans pels nombres indoaràbics a Europa (ja hi havia hagut incursions anteriors, com els estudis de Gerbert d'Orlhac, el Papa Silvestre II, poc abans de l'any 1000).

Fibonacci és recordat, principalment emperò, per redactar un problema -en aquest mateix llibre- sobre la reproducció de conills. La solució d'aquest problema és l'anomenada successió de Fibonacci i ve donada pels termes:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

En aquesta successió, es defineixen els dos primers termes com a 1, i a partir de llavors, cada terme es calcula fent la suma dels dos anteriors. Al cap dels segles, aquesta successió s'ha revelat d'una fecunditat i harmonia natural inimaginables. De fet, el mateix Fibonacci va morir sense saber res de les seves aplicacions.

Presència en el món de les plantes

Molt sovint, la disposició sobre una planta de fulles, flors, llavors, bràctees... apareix en formes espirals o helicoïdals. Si comptam el nombre d'espirals o helicoides en un sentit i en l'altre, descobrirem que en un percentatge altíssim aquests nombres són dos termes consecutius de la successió de Fibonacci. Fixau-vos en les espirals d'una pinya de pi (Pinus halepensis):

Per poder-les comptar millor, hem "pintat" les espirals en un sentit i en un altre.

Descobrim que les espirals que creixen en sentit horari són 8, mentre les espirals que creixen en sentit anti-horari són 13. Efectivament, dos termes consecutius de la successió de Fibonacci.

(Podeu veure un altre exemple en les flors de la camamilla de muntanya en aquesta mirada matemàtica)

Característiques matemàtiques

Sembla mentida que una "simple" successió numèrica com aquesta, pugui tenir la immensa quantitat de propietats que presenta. Fem només algunes observacions senzilles:

Alternança de paritat

És interessant veure com aquesta alternança es produeix amb la seqüència de dos senars i un parell i esbrinar per què.

Màxims comuns divisors

El màxim comú divisor de dos nombres de Fibonacci és sempre un altre nombre de Fibonacci. Podem comprovar-ho, per exemple, si prenem el 21 i el 144. MCD (21, 144) = 3, que també és un nombre de Fibonacci.

Nombre auri

La divisió d'un nombre qualsevol de Fibonacci entre l'anterior, té com a resultat un nombre molt proper al nombre auri (φ= 1,61803...). Com més grans siguin els termes, més proper serà el resultat.

8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615...
34/21 = 1,619...

S'ha de puntualitzar que aquest resultat és vàlid no només per a la successió de Fibonacci, sinó per a qualsevol successió que tingui la mateixa llei de recurrència, és a dir, que generi els seus termes sumant els dos termes anteriors independentment de quins siguin els dos termes inicials.

La fórmula de Binet

Tot i que normalment els termes de Fibonacci s'obtenen mitjançant la seva llei de recurrència (sumant els dos darrers termes s'obtén el següent), l'any 1843, Jacques Philippe Marie Binet trobà el terme general de la successió que ens permet obtenir qualsevol terme directament. Contràriament al que sembla dir el nom, Binet no fou el primer en trobar-la i un segle abans, ja era coneguda per De Moivre, Euler o Daniel Bernoulli. (φ és el nombre auri: 1,618...)

Curiositats

La branca de la botànica que estudia com s'insereixen en una planta les fulles, flors, bràctees, llavors... s'anomena Fil·lotaxi. No és increïble la semblança d'aquesta paraula (en grec, orientació de les fulles) amb el nom de Fibonacci?

Si numeram les lletres de l'alfabet (a=1, b=2, c=3...) i miram quines ocupen posicions de Fibonacci, és divertit formar paraules "àuries". Descobrirem que el mestre de Leipzig, Bach, és completament auri.

Preguntes que ens podem fer

Quin era el problema dels conills?

En un corral hi ha una parella de conills acabada de néixer. Aquesta parella, al cap d'un mes, encara no és fèrtil, però a partir del segon mes tindrà una nova parella de conills cada mes les quals, també a partir del segon mes de néixer, tindran una nova parella de conills i així successivament. Quantes parelles hi haurà en el corral a mesura que passin els mesos suposant que cap conill es mori?

Per què la successió rep el nom de Fibonacci?

Fou al segle XIX quan el matemàtic francès Édouard Lucas anomenarà a aquesta seqüència la successió de Fibonacci, pensant segurament que el matemàtic pisà havia estat el primer en descriure-la en la secció tercera del seu Liber Abbaci. Però en realitat tenim un precedent preciós, quasi un segle abans, de la mà del poeta indi Gopāla.

En efecte, hi ha una variant de la poesia sànscrita de la Índia, els matra-vrttas, en la que el que es compta són les mores i no les síl·labes. En sànscrit, igual que en altres llengües, les síl·labes poden ser llargues o curtes. Si són curtes, es diu que tenen una mora i, si són llargues, dues.

Gopāla, devers els anys 1133-1135 estudià sistemàticament les possibilitats de fer poemes amb versos d'una mora, de dues mores, de tres mores, etc. segons el tipus de síl·laba que es fes servir. I el que trobà fou la mateixa successió que Fibonacci.

En el gràfic, les síl·labes curtes d'una mora estan representades per un quadrat de color carabassa mentre que les síl·labes llargues de dues mores estan representades per un rectangle verd. Com podem observar, així es genera també la successió de Fibonacci. Gopāla ja menciona el fet que cada terme és la suma dels dos anteriors.

Els anys bixests

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-03T10:22:50Z

2020. Enguany és un any bixest. Això vol dir que el mes de febrer ha tingut 29 dies en comptes de 28. I això ho fem, normalment, cada quatre anys. És a dir, l'any 2016 fou bixest i el 2024 també ho serà.

Quin és el motiu d'aquesta correcció quadriennal? Com explicar-ho als infants? Hom sap que el problema de quadrar el calendaris és que un any (una volta completa de la Terra entorn del Sol) no encaixa amb un nombre exacte de dies (voltes completes de la Terra sobre si mateixa). I com que la mesura de temps més evident que tenim és el dia, es faria estrany començar l'any nou a les 6 de la matinada.

Suposem que poguéssim fer una marca en el punt de l'espai en el que la Terra es troba (respecte del Sol) dia 1 de gener a les 00:00. Doncs quan hagin passat 365 dies complets, encara faltaran aproximadament 6 hores per arribar al mateix punt. Però com que són les 00:00, decidim començar un nou any. Quan hagin passat 365 dies complets més, ens tornaran faltar 6 hores respecte de l'any anterior i, per tant, 12 hores respecte del punt marcat inicialment. És a dir, ens estam avançant en comptes de celebrar el "vertader" cap d'any. L'any següent ens haurem avançat 18 hores i el quart any ens hauríem avançat, aproximadament, 24 hores. Per això, el quart any decidim afegir un dia més, esperar un dia més, per a celebrar el cap d'any de manera que, aproximadament, tornarem estar en el punt inicial.

El calendari romà antic no feia aquesta correcció i tots els anys eren de 365 dies. Això vol dir que a mesura que passava el temps, el calendari oficial s'anava avançant respecte del calendari natural, cada quatre anys un dia. Passats els segles aquest avanç es va fer evident i va arribar un moment en què ja celebraven el cap d'any i encara era tardor.

El calendari julià

L'any 46 aC, essent emperador Juli Cèsar, amb el consell de l'astrònom alexandrí Sosígenes, es va decidir allargar aquell any 90 dies per tornar col·locar el cap d'any al seu lloc i, a partir de llavors, afegir un dia cada quatre anys per evitar aquests desajusts. Acabaven d'inventar-se els anys bixests. Per això, al calendari reformat així se'l coneix com a calendari julià.

Aquest calendari seria perfecte si un any duràs 365,25 dies però, ai, en realitat un any solar dura 365,2421... dies. És a dir, que en realitat ens avançam un poquet menys d'un quart de dia cada any normal. Per tant, quan afegim un dia cada quatre anys, n'estam afegint una mica massa. Molt poquet, però de més. Altre pic, al cap dels anys, aquest desajust, aquest pic per excés, es va fer evident i el calendari oficial anava 10 dies endarrerit respecte del calendari natural. 10 dies que havíem anat afegint de més.

El calendari gregorià

L'any 1582, el Papa Gregori XIII, sota el consell del jesuïta i astrònom Christopher Clavius, decidí posar-hi remei. Ara, en comptes d'afegir, s'havien de llevar aquests dies. Per això promulgà la butlla pontifical Inter gravissimas el 24 de febrer d'aquell mateix any. En aquesta, el Papa manava que després de dia 4 d'octubre es passàs al 15 d'octubre, de manera que tornàvem col·locar el comptador a zero.

A Mallorca tenim un document històric magnífic que ho testifica. Es tracta d'una carta de Felip II dirigida a Antoni Oms, lloctinent i capità general del Regne de Mallorca. En ella li comunica que el dia siguiente despues de quatro de octubre deste presente año se ha de contar quinze...

(Carta de Felip II de 6 de setembre de 1582 trobada per Magdalena Rosselló i jo mateix amb el consell de P. de Montaner. Reproducció amb permís de l'arxiu del Regne de Mallorca, ARM, LR 90)

I per evitar seguir posant dies de més, es va decidir que no serien bixests els anys finiseculars, és a dir, el 1700, el 1800, el 1900... que segons el calendari julià, com que són múltiples de 4, ho haurien estat. Això vol dir que ara se'n treia un cada vint-i-cinc. I com que aquesta correcció en realitat es tornava quedar curta, es va decidir que un de cada quatre finiseculars seguís essent bixest.

Fixau-vos què va passar l'any 2000. Com que és un any múltiple de 4, hauria d'haver estat bixest. Però com que és finisecular no tocaria ser-ho. Però com que un de cada quatre finiseculars es deixa bixest i els 1700, 1800 i 1900 no ho havien sigut, el 2000 ho va ser. Per tant, el 2100, 2200 i 2300 no seran bixests i el 2400 ho tornarà ser.

Anècdotes

Teresa de Jesús va morir el 4 d'octubre de 1582 i fou enterrada l'endemà, el 15 d'octubre. Va morir amb el calendari julià i fou enterrada amb el calendari gregorià.

Miguel de Cervantes morí un 22 d'abril de 1616 mentre que William Shakespeare morí 11 dies després, el 23 d'abril de 1616. Això es deu al fet que Anglaterra va trigar molts anys a acceptar la reforma gregoriana i per tant la data anglesa encara fa referència al calendari julià que, traduïda al calendari gregorià, seria 3 de maig.

A l'acta capitular de la Seu de Mallorca de dimecres 3 d'octubre de 1582 li segueix, amb tota normalitat, l'acta del dimecres de la setmana següent, dia 20 d'octubre. (L'agraïment a Catalina Mas Andreu i a l'Arxiu Capitular de la Seu per facilitar la troballa d'aquests documents).

Preguntes que ens podem fer:

D'on ve el terme bixest?

Els romans no etiquetaven els dies de l'any com nosaltres, que anam sumant, sinó que comptaven els dies que faltaven per a cada un dels tres dies especials del mes i que, per això, tenien nom propi. El primer dia del mes era les kalendas (i d'aquí el nom de calendari), el 5è o 7è dia -segons el mes- eren les nonas i el 13è o 15è dia els idus. Amb aquest sistema, dia 24 de febrer era per als romans l'ante diem sextum Kalendas Martias. Però en els anys bixests, no afegien el dia al final de febrer, sinó que duplicaven aquest 24 de febrer i per això l'anomenaven ante diem bis sextum Kalendas Martias. D'aquí el terme bixest.

Com va afectar la vida de la gent aquest canvi de calendari julià a gregorià?

Com que el canvi suposava perdre 10 dies del mes, el despatx reial de Felip II especifica que els terminis de judicis i altres situacions s'hauran d'endarrerir aquests 10 dies i que, així mateix, els salaris s'hauran de rebaixar en la part proporcional.

El nombres triangulars

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-02T04:33:57Z

Si agafam els nombres més senzills, els nombres naturals, i l'operació més senzilla, la suma, estarem parlant dels nombres triangulars. En efecte, és coneix com a nombre triangular aquell nombre que es pot obtenir sumant els nombres naturals consecutius a partir de l'1. Així, els primers nombres triangulars seran:

1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10
...

El fet d'anomenar-los triangulars fa referència a aquesta bonica relació entre aritmètica i geometria que els alumnes de primària poden fer ben prest, proposant simplement la construcció de termes o figures successives.

Podria semblar que els nombres triangulars són una mera invenció matemàtica, però el cert és que han deixat un rastre important a nivell històric i cultural.

Per començar, en l'àmbit de la religió catòlica, el 3 (o en la seva versió geomètrica el triangle) és la representació de la divinitat. Per això segurament un dels primers logos ha estat aquest, el triangle.

(Imatge de Déu a Santa Maria d'Inca i triangle diví al portal major de Sant Bartomeu de Sóller)

De fet, l'ús dels nombres triangulars en els llibres bíblics sol estar associada a la referència divina. Vet aquí dos exemples rellevants. Sant Joan afirma al llibre de l'Apocalipsi que el nombre del dimoni és el 666. Doncs aquest és un nombre triangular (1+2+3+...+36). Així mateix, Sant Joan explica al seu evangeli (21:1-11) que els deixebles havien pescat 153 peixos quan feren el que els digué Jesucrist. I resulta que 153 és un nombre triangular (1+2+3+...+17).

En la història de les matemàtiques, hom pensa que els pitagòrics podrien haver tingut el 10 (1+2+3+4) com a símbol místic, precisament per ser la suma de totes les dimensions geomètriques (1 seria el punt, 2 la línia, 3 el pla i 4 l'espai). A aquesta figura l'anomenaven la Tetraktys.

Preguntes que ens podem fer:

Com evoluciona la paritat dels nombres triangulars?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... Per tant, observam que hi ha alternança de 2 parells i 2 senars. És interessant reflexionar sobre el perquè.

Com puc saber el resultat d'una suma triangular sense haver de sumar tots els termes?

Hi ha moltes maneres d'arribar a la solució. Una rajola quadrada tallada en diagonal ens pot ajudar a trobar un camí.

Com es veu, si volem sumar 1+2+3+4+5 quadradets, basta sumar la meitat del quadrat de 5x5 amb la meitat de 5.

Expressem aquest fet ara amb notació algebraica. Si anomenam triangular d'ordre n (T(n)) al nombre que suma els primers n-nombres naturals,

T(n) = n.n/2 + n/2 = n.(n+1)/2

La llegenda afirma, sense fonament històric, que Gauss calculà de ben jovenet, davant l'estupor del seu mestre, la suma de 1+2+3+...+100. Podeu veure una recreació a la pel·lícula Midiendo el mundo.

Què passa si sumam dos nombres triangulars consecutius?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... Fem proves de sumar dos termes consecutius:

1+3 = 4
3+6 = 9
6+10 = 16
10+15 = 25

Aquests resultats presenten sempre el quadrat perfecte d'un nombre natural. Això també és pot veure a la rajola, on la suma del triangular de 4 (10) i la suma del triangular de 5 (15) dóna 25, que és el quadrat de 5.

És a dir, que amb dos nombres triangulars consecutius, sempre podem construir un quadrat.

Què passa si ara anam sumant nombres triangulars consecutius des de l'1?

Que obtindrem uns altres nombres anomenats tetraèdrics, perquè amb la seva suma sempre es pot construir un tetraedre. A la fotografia següent, es pot observar la suma dels nombres triangulars 1+3+6+10+15 per formar el tetraedre de 5 pisos (cada pis és un nombre triangular) i 35 bolles.

Les 7 arts lliberals

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-01T04:20:45Z

(Representació del Quadrivium al sepulcre de Ramon Llull)

Quan hom parla de les 7 arts lliberals es refereix al conjunt de coneixements (arts) que conreaven els homes lliures (en oposició al coneixement del poble o coneixement vulgar) i que estaven formats pel Trivium i el Quadrivium.

Sabem per Aristòtil que el Trivium fou establert per Zenó d'Elea (s. V aC). Aquest conjunt de estava format per la lògica (o dialèctica), la retòrica i la gramàtica. Amb la lògica pensam correctament, amb la retòrica ens expressam correctament, i amb la gramàtica fem un ús correcte de la llengua.

El Quadrivium fou establert per Arquites de Tarent (s. V-IV aC). Aquest conjunt estava format per l'aritmètica, la geometria, l'astronomia i la música. L'aritmètica estudiaria els nombres en repòs, la geometria les figures en repòs, l'astronomia les figures en moviment i la música els nombres en moviment. Hem de pensar que Arquites fou un dels darrers membres de l'Escola Pitagòrica, cosa que es reflecteix en aquesta estructura.

El coneixement així estructurat es mantingué fins ben entrada l'Edat Mitjana, gairebé durant dos mil·lennis.

A Mallorca, tenim alguns conjunts de representacions de les arts lliberals. Les fotografies del cap d'aquest article són de la capella de la Puritat de la Basílica de Sant Francesc de Ciutat, on s'hi ubica el sepulcre de Ramon Llull. (Aquesta capella és la segona radial per l'esquerre de les que envolten el presbiteri.) Aquí hi trobam al·legories que estan a la base de set nínxols on hi haurien anat sengles escultures mai instal·lades. L'autor és Francesc Sagrera que el realitzà segons un disseny de Pere Joan Llobet al 1487. És interessant esmentar que els nombres que apareixen a l'Aritmètica, ja són indoaràbics.

Ben a prop, al costat esquerre de la nau principal, hi trobam una altra capella dedicada al beat mallorquí, la capella nova de Ramon Llull, on hi ha instal·lat un retaule barroc (s. XVII) coronat per escultures que tornen representar les set arts lliberals.

(Al·legories de l'astronomia i de l'aritmètica a la capella Nova de Ramon Llull)

El tercer conjunt de les set arts lliberals el trobam ben a prop, al mateix carrer Ramon Llull. Es tracta de grans medallons que coronen 7 finestres de l'edifici que alberga l'Arxiu del Regne de Mallorca. Sembla que les dues primeres, la lògica i la geometria, vendrien representades pel mateix Ramon Llull. Aquí teniu les imatges:

L'arrel quadrada de dos

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-31T09:12:58Z

(Tauleta babilònica YBC 7289, 1800-1600 aC, Yale Babylonian Collection. Reproducció: Pilar Sastre)

Dibuixau quadrats de diferents grandàries. Mesurau ara les seves diagonals i els seus costats i feis les divisions d'aquestes dues mesures per a cada quadrat. Descobrireu que la relació diagonal/costat és sempre un mateix nombre, una constant, que s'acosta molt a 1,41... és a dir, a l'arrel quadrada de dos.

En el cas de la rajola de la fotografia, dividiríem 47/33 = 1,42... una aproximació prou bona.

Si ara pensam la relació a l'inversa, això voldrà dir, naturalment, que si sabem la longitud del costat d'un quadrat, multiplicant aquesta per l'arrel quadrada de dos, tendrem la seva diagonal. Fa més de 3500 anys, els savis babilonis ja ho sabien com ho demostra la tauleta que teniu a la fotografia inicial.

En la tauleta d'aquella fotografia, els símbols que apareixen són les mesures (en sistema sexagesimal) del costat, de la diagonal i l'arrel quadrada de dos. (Trobareu una descripció acurada de la tauleta a YBC 7289)

Aquesta idea de les relacions constants (la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre és sempre el nombre pi, la relació entre la diagonal i el costat d'un pentàgon regular és sempre la proporció àuria...) és una idea potent i fonamental que hauria de descobrir tot alumne/a en els darrers anys de la seva Educació Primària.

L'arrel quadrada de dos està present en diversos àmbits de la vida quotidiana. Aquí teniu alguns exemples relevants:

El sistema DIN de paper
El sistema DIN va fixar que la relació entre la longitud i l'amplada d'un paper fos precisament l'arrel quadrada de dos. Aquest fet permet que quan xapam un full DIN A4 per la meitat, els dos fulls resultants -DIN A5- conservin la proporció, és a dir, la divisió llargada/amplada segueixi sent l'arrel quadrada de dos.

L'escala temperada
Tal i com s'afinen actualment els instruments, si multiplicam la freqüència d'una nota per l'arrel quadrada de dos, obtindrem la freqüència d'una nota que ha pujat 6 semitons, és a dir, en llenguatge musical, una quarta augmentada. Això vol dir que si el "la" de referència (la3) vibra a 440 Hz, el re# superior ho farà a (440 x 1,4142) o sigui a 622,25 Hz (cicles per segon).

Preguntes que ens podem fer:

Puc saber l'arrel quadrada de dos de manera exacta fent la divisió de entre la diagonal i el costat d'un quadrat?

És impossible perquè els dibuixos o les construccions reals no són mai perfectes i les mesures no són -ni seran- mai exactes. Això vol dir que de manera pràctica no es poden saber més que les primeres xifres decimals.

Quantes xifres decimals té l'arrel quadrada de dos?

L'arrel quadrada de dos és un nombre irracional. Això vol dir que la seva expressió decimal té infinites xifres no periòdiques. Una manera d'anar-les calculant (les primeres, clar) és per iteració. És a dir, anar provant. En realitat aquest és el mètode en el que es basa l'algoritme clàssic de càlcul. Actualment se n'han calculat -per altres vies- més de cent mil milions.

Si la relació geomètrica no serà mai exacta, com podem saber que el nombre que teòricament surt és l'arrel quadrada de dos?

Pel teorema de Pitàgores. De fet, l'arrel quadrada de dos també ha estat coneguda com a constant pitagòrica.

S'ha d'ensenyar a calcular arrels quadrades a mà?

L'algoritme de l'arrel quadrada no aporta cap coneixement interessant per a l'alumnat. Per això, quan necessitam calcular algunes xifres decimals d'una arrel quadrada, ho feim amb la calculadora, el mòbil, el full de càlcul...

Els nombres dels rellotges

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-26T06:17:43Z

(Rellotge mecànic de 1739 esculpit en pedra viva al campanar de l'esglèsia de Binissalem)

Els primers testimonis escrits sobre la construcció de rellotges apareixen a Mesopotàmia (cultures sumèria i babilònica, fa uns 4000 anys). Si els rellotges tenen 12 hores i cada hora 60 minuts (i cada minut 60 segons), és perquè la gent que els inventà utilitzava aquest sistema de numeració, el sistema sexagesimal. La base del seu sistema numèric era el 60. El 12 era una base auxiliar.

El cas és que, per comptar, amb el dit gros d'una mà anaven tocant les tres falanges de cada dit llarg de la mateixa mà. Cada toc era un nombre i, per tant, a tres tocs per quatre dits, haurem arribat a dotze.

Ara, cada dotzena comptada era apuntada amb un dit de l'altra mà, i així fins a cinc vegades. D'aquesta manera, arribaven a cinc dotzenes que fan seixanta! No és genial?

Això ha estat fàcil d'aclarir perquè els països propers d'aquella zona encara conserven el fet de comptar d'aquesta manera. És emocionant si tenim algun alumne o alumna de Pakistan demanar-li que ens ho mostri. Així mateix, molts països àrabs utilitzen aquest sistema de comptar en les seves oracions, com ens ho poden confirmar els alumnes de països nord-africans que puguem tenir. I fins i tot hem arribat a recollir el testimoni de dos alumnes de Manacor que havien vist comptar d'aquesta manera les seves padrines.

Preguntes que ens podem fer:

Com serien els rellotges si els haguéssim inventat nosaltres?

Com que el nostre sistema és decimal, no hi ha dubte que els rellotges tindrien 10 hores, cada hora tindria 100 minuts i cada minut 100 segons. De fet, quan la Revolució Francesa va implantar el nou sistema decimal internacional, va fer una proposta de canviar el sistema numèric també per a la mesura del temps. I va proposar aquests rellotges. Però com que tot el món comptava el temps igual, en aquest camp la gent no va veure cap necessitat ni benefici en el canvi.

(Fotografia de Cormullion - Treball propi, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16342019)

Per què un dia té 24 hores i no 12?

Pel que es coneix fins ara, els primers rellotges que es varen inventar varen ser els de sol i per tant, les dotze hores comptaven el temps de claror. Llavors, amb l'arribada d'altres rellotges que podien funcionar sense sol (com les clepsidres d'aigua o els mecànics) es va poder quantificar també el temps a les fosques i es varen col·locar 12 hores més. Total 24.

Per què la majoria de rellotges amb numeració romana escriuen el quatre com a IIII?

Perquè així ho feien els romans. De fet, la regla que el quatre s'ha d'escriure IV té dues excepcions importants que és interessant conèixer. Una és la dels rellotges i, per tant, podríem dir que en realitat quan un rellotge que té escrit IV és incorrecte. La segona excepció són les làpides o esteles funeràries. En aquestes, el nombre quatre, especialment pel que fa a dates o edats, també s'escriu com a IIII.