SBM-XEIX

Els nombres de Fibonacci

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-06T09:05:57Z

(Representació escultòrica de Fibonacci, obra de Giovanni Paganucci -1863- ubicada al cementiri monumental de Pisa. Imatge de lliure distribució extreta de pxhere.com)

Fibonacci, el nom del qual era, en realitat, Leonardo de Pisa, feu públic al 1202 un dels llibres més famosos en la història de les matemàtiques: el Liber Abbaci. Aquest llibre és especialment important perquè impulsa definitivament la substitució dels nombres romans pels nombres indoaràbics a Europa (ja hi havia hagut incursions anteriors, com els estudis de Gerbert d'Orlhac, el Papa Silvestre II, poc abans de l'any 1000).

Fibonacci és recordat, principalment emperò, per redactar un problema -en aquest mateix llibre- sobre la reproducció de conills. La solució d'aquest problema és l'anomenada successió de Fibonacci i ve donada pels termes:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

En aquesta successió, es defineixen els dos primers termes com a 1, i a partir de llavors, cada terme es calcula fent la suma dels dos anteriors. Al cap dels segles, aquesta successió s'ha revelat d'una fecunditat i harmonia natural inimaginables. De fet, el mateix Fibonacci va morir sense saber res de les seves aplicacions.

Presència en el món de les plantes

Molt sovint, la disposició sobre una planta de fulles, flors, llavors, bràctees... apareix en formes espirals o helicoïdals. Si comptam el nombre d'espirals o helicoides en un sentit i en l'altre, descobrirem que en un percentatge altíssim aquests nombres són dos termes consecutius de la successió de Fibonacci. Fixau-vos en les espirals d'una pinya de pi (Pinus halepensis):

Per poder-les comptar millor, hem "pintat" les espirals en un sentit i en un altre.

Descobrim que les espirals que creixen en sentit horari són 8, mentre les espirals que creixen en sentit anti-horari són 13. Efectivament, dos termes consecutius de la successió de Fibonacci.

(Podeu veure un altre exemple en les flors de la camamilla de muntanya en aquesta mirada matemàtica)

Característiques matemàtiques

Sembla mentida que una "simple" successió numèrica com aquesta, pugui tenir la immensa quantitat de propietats que presenta. Fem només algunes observacions senzilles:

Alternança de paritat

És interessant veure com aquesta alternança es produeix amb la seqüència de dos senars i un parell i esbrinar per què.

Màxims comuns divisors

El màxim comú divisor de dos nombres de Fibonacci és sempre un altre nombre de Fibonacci. Podem comprovar-ho, per exemple, si prenem el 21 i el 144. MCD (21, 144) = 3, que també és un nombre de Fibonacci.

Nombre auri

La divisió d'un nombre qualsevol de Fibonacci entre l'anterior, té com a resultat un nombre molt proper al nombre auri (φ= 1,61803...). Com més grans siguin els termes, més proper serà el resultat.

8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615...
34/21 = 1,619...

S'ha de puntualitzar que aquest resultat és vàlid no només per a la successió de Fibonacci, sinó per a qualsevol successió que tingui la mateixa llei de recurrència, és a dir, que generi els seus termes sumant els dos termes anteriors independentment de quins siguin els dos termes inicials.

La fórmula de Binet

Tot i que normalment els termes de Fibonacci s'obtenen mitjançant la seva llei de recurrència (sumant els dos darrers termes s'obtén el següent), l'any 1843, Jacques Philippe Marie Binet trobà el terme general de la successió que ens permet obtenir qualsevol terme directament. Contràriament al que sembla dir el nom, Binet no fou el primer en trobar-la i un segle abans, ja era coneguda per De Moivre, Euler o Daniel Bernoulli. (φ és el nombre auri: 1,618...)

Curiositats

La branca de la botànica que estudia com s'insereixen en una planta les fulles, flors, bràctees, llavors... s'anomena Fil·lotaxi. No és increïble la semblança d'aquesta paraula (en grec, orientació de les fulles) amb el nom de Fibonacci?

Si numeram les lletres de l'alfabet (a=1, b=2, c=3...) i miram quines ocupen posicions de Fibonacci, és divertit formar paraules "àuries". Descobrirem que el mestre de Leipzig, Bach, és completament auri.

Preguntes que ens podem fer

Quin era el problema dels conills?

En un corral hi ha una parella de conills acabada de néixer. Aquesta parella, al cap d'un mes, encara no és fèrtil, però a partir del segon mes tindrà una nova parella de conills cada mes les quals, també a partir del segon mes de néixer, tindran una nova parella de conills i així successivament. Quantes parelles hi haurà en el corral a mesura que passin els mesos suposant que cap conill es mori?

Per què la successió rep el nom de Fibonacci?

Fou al segle XIX quan el matemàtic francès Édouard Lucas anomenarà a aquesta seqüència la successió de Fibonacci, pensant segurament que el matemàtic pisà havia estat el primer en descriure-la en la secció tercera del seu Liber Abbaci. Però en realitat tenim un precedent preciós, quasi un segle abans, de la mà del poeta indi Gopāla.

En efecte, hi ha una variant de la poesia sànscrita de la Índia, els matra-vrttas, en la que el que es compta són les mores i no les síl·labes. En sànscrit, igual que en altres llengües, les síl·labes poden ser llargues o curtes. Si són curtes, es diu que tenen una mora i, si són llargues, dues.

Gopāla, devers els anys 1133-1135 estudià sistemàticament les possibilitats de fer poemes amb versos d'una mora, de dues mores, de tres mores, etc. segons el tipus de síl·laba que es fes servir. I el que trobà fou la mateixa successió que Fibonacci.

En el gràfic, les síl·labes curtes d'una mora estan representades per un quadrat de color carabassa mentre que les síl·labes llargues de dues mores estan representades per un rectangle verd. Com podem observar, així es genera també la successió de Fibonacci. Gopāla ja menciona el fet que cada terme és la suma dels dos anteriors.

El nombres triangulars

Josep L. Pol i Llompart — 2020-04-02T04:33:57Z

Si agafam els nombres més senzills, els nombres naturals, i l'operació més senzilla, la suma, estarem parlant dels nombres triangulars. En efecte, és coneix com a nombre triangular aquell nombre que es pot obtenir sumant els nombres naturals consecutius a partir de l'1. Així, els primers nombres triangulars seran:

1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10
...

El fet d'anomenar-los triangulars fa referència a aquesta bonica relació entre aritmètica i geometria que els alumnes de primària poden fer ben prest, proposant simplement la construcció de termes o figures successives.

Podria semblar que els nombres triangulars són una mera invenció matemàtica, però el cert és que han deixat un rastre important a nivell històric i cultural.

Per començar, en l'àmbit de la religió catòlica, el 3 (o en la seva versió geomètrica el triangle) és la representació de la divinitat. Per això segurament un dels primers logos ha estat aquest, el triangle.

(Imatge de Déu a Santa Maria d'Inca i triangle diví al portal major de Sant Bartomeu de Sóller)

De fet, l'ús dels nombres triangulars en els llibres bíblics sol estar associada a la referència divina. Vet aquí dos exemples rellevants. Sant Joan afirma al llibre de l'Apocalipsi que el nombre del dimoni és el 666. Doncs aquest és un nombre triangular (1+2+3+...+36). Així mateix, Sant Joan explica al seu evangeli (21:1-11) que els deixebles havien pescat 153 peixos quan feren el que els digué Jesucrist. I resulta que 153 és un nombre triangular (1+2+3+...+17).

En la història de les matemàtiques, hom pensa que els pitagòrics podrien haver tingut el 10 (1+2+3+4) com a símbol místic, precisament per ser la suma de totes les dimensions geomètriques (1 seria el punt, 2 la línia, 3 el pla i 4 l'espai). A aquesta figura l'anomenaven la Tetraktys.

Preguntes que ens podem fer:

Com evoluciona la paritat dels nombres triangulars?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... Per tant, observam que hi ha alternança de 2 parells i 2 senars. És interessant reflexionar sobre el perquè.

Com puc saber el resultat d'una suma triangular sense haver de sumar tots els termes?

Hi ha moltes maneres d'arribar a la solució. Una rajola quadrada tallada en diagonal ens pot ajudar a trobar un camí.

Com es veu, si volem sumar 1+2+3+4+5 quadradets, basta sumar la meitat del quadrat de 5x5 amb la meitat de 5.

Expressem aquest fet ara amb notació algebraica. Si anomenam triangular d'ordre n (T(n)) al nombre que suma els primers n-nombres naturals,

T(n) = n.n/2 + n/2 = n.(n+1)/2

La llegenda afirma, sense fonament històric, que Gauss calculà de ben jovenet, davant l'estupor del seu mestre, la suma de 1+2+3+...+100. Podeu veure una recreació a la pel·lícula Midiendo el mundo.

Què passa si sumam dos nombres triangulars consecutius?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... Fem proves de sumar dos termes consecutius:

1+3 = 4
3+6 = 9
6+10 = 16
10+15 = 25

Aquests resultats presenten sempre el quadrat perfecte d'un nombre natural. Això també és pot veure a la rajola, on la suma del triangular de 4 (10) i la suma del triangular de 5 (15) dóna 25, que és el quadrat de 5.

És a dir, que amb dos nombres triangulars consecutius, sempre podem construir un quadrat.

Què passa si ara anam sumant nombres triangulars consecutius des de l'1?

Que obtindrem uns altres nombres anomenats tetraèdrics, perquè amb la seva suma sempre es pot construir un tetraedre. A la fotografia següent, es pot observar la suma dels nombres triangulars 1+3+6+10+15 per formar el tetraedre de 5 pisos (cada pis és un nombre triangular) i 35 bolles.

Els nombres dels rellotges

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-26T06:17:43Z

(Rellotge mecànic de 1739 esculpit en pedra viva al campanar de l'esglèsia de Binissalem)

Els primers testimonis escrits sobre la construcció de rellotges apareixen a Mesopotàmia (cultures sumèria i babilònica, fa uns 4000 anys). Si els rellotges tenen 12 hores i cada hora 60 minuts (i cada minut 60 segons), és perquè la gent que els inventà utilitzava aquest sistema de numeració, el sistema sexagesimal. La base del seu sistema numèric era el 60. El 12 era una base auxiliar.

El cas és que, per comptar, amb el dit gros d'una mà anaven tocant les tres falanges de cada dit llarg de la mateixa mà. Cada toc era un nombre i, per tant, a tres tocs per quatre dits, haurem arribat a dotze.

Ara, cada dotzena comptada era apuntada amb un dit de l'altra mà, i així fins a cinc vegades. D'aquesta manera, arribaven a cinc dotzenes que fan seixanta! No és genial?

Això ha estat fàcil d'aclarir perquè els països propers d'aquella zona encara conserven el fet de comptar d'aquesta manera. És emocionant si tenim algun alumne o alumna de Pakistan demanar-li que ens ho mostri. Així mateix, molts països àrabs utilitzen aquest sistema de comptar en les seves oracions, com ens ho poden confirmar els alumnes de països nord-africans que puguem tenir. I fins i tot hem arribat a recollir el testimoni de dos alumnes de Manacor que havien vist comptar d'aquesta manera les seves padrines.

Preguntes que ens podem fer:

Com serien els rellotges si els haguéssim inventat nosaltres?

Com que el nostre sistema és decimal, no hi ha dubte que els rellotges tindrien 10 hores, cada hora tindria 100 minuts i cada minut 100 segons. De fet, quan la Revolució Francesa va implantar el nou sistema decimal internacional, va fer una proposta de canviar el sistema numèric també per a la mesura del temps. I va proposar aquests rellotges. Però com que tot el món comptava el temps igual, en aquest camp la gent no va veure cap necessitat ni benefici en el canvi.

(Fotografia de Cormullion - Treball propi, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=16342019)

Per què un dia té 24 hores i no 12?

Pel que es coneix fins ara, els primers rellotges que es varen inventar varen ser els de sol i per tant, les dotze hores comptaven el temps de claror. Llavors, amb l'arribada d'altres rellotges que podien funcionar sense sol (com les clepsidres d'aigua o els mecànics) es va poder quantificar també el temps a les fosques i es varen col·locar 12 hores més. Total 24.

Per què la majoria de rellotges amb numeració romana escriuen el quatre com a IIII?

Perquè així ho feien els romans. De fet, la regla que el quatre s'ha d'escriure IV té dues excepcions importants que és interessant conèixer. Una és la dels rellotges i, per tant, podríem dir que en realitat quan un rellotge que té escrit IV és incorrecte. La segona excepció són les làpides o esteles funeràries. En aquestes, el nombre quatre, especialment pel que fa a dates o edats, també s'escriu com a IIII.