SBM-XEIX

Topologia estiuenca

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-17T04:58:20Z

Les primeres pluges d'estiu han deixat aquest paisatge al cossiol de fulles (Aspidistra elatior) del costat de la cisterna. Cada gota reflecteix, a la seva manera, el camp visual que inclou el fotògraf, les fulles adjacents i el coll de la cisterna. Aquestes deformacions, que òpticament podem anomenar anamorfosis, conviden a la creativitat.

En el camp de la topologia, totes aquestes superfícies en blanc i verd de cada gota podrien considerar-se equivalents (homeomorfes) sempre i quan no hi hagi trencaments, només deformacions. Aquí teniu una selecció per si algú s'hi vol distreure una mica.

En el camp de la música, trobaríem un cert equivalent en la forma de les Variacions, que són aquelles composicions que prenen un tema musical i el van modificant tant melòdicament com rítmica, però sempre amb una base harmònica més o manco reconeixible. Són famosos els casos de les variacions Goldberg per a clave de Bach o les variacions Diabelli per a piano de Beethoven.

Translació de raó un caragol

Lucía Rotger García — 2013-02-10T13:33:51Z

La característica més representativa d'un caragol és precisament la seva closca en forma d'espiral. Podríem pensar que aquesta corba segueix el patró d'una espiral aurea o logarítmica però no és el cas. Aquests caragols, en general ben abundants per les nostres Illes, no segueixen aquest patró de creixement, aquest fet ho podem comprovar amb programes com el Geogebra i construir damunt la fotografia una espiral aurea. En aquest cas, hem de tenir en compte la perspectiva de la foto no és l'adequada per aquesta tasca.
Per altra part, si ens fixam en la distribució d'aquesta foto observam dos caragols aferrats a una planta que creua diagonalment la foto, i si en comptes de ser una planta és un vector? Aleshores sobre el mateix vector tenim dos caragols, o en realitat és un caragol al que hem aplicat una translació de raó ell mateix?
Les matemàtiques són el llenguatge de la naturalesa.

(Article proposat des del Màster de Professorat de Secundària, UIB)

Fractals marins

Josep L. Pol i Llompart — 2012-09-10T14:18:00Z

Un dia de navegació en calma per la mar del nord de Mallorca ens pot deixar imatges tan evocadores com aquesta. Es tracta del reflex dels penya-segats de Can Canten i Dormen, a la costa pollencina.

En realitat és un tema de fronteres. Com els fractals funcionals: quan la iteració d'un valor i els seus resultats tendeixen a zero, el pintam de negre, quan tendeixen a infinit, de blanc. Aquí la mar dibuixa unes sinusoides tan suaus, que es perfilen molt bé les fronteres. Quan l'angle de visió respecte de la perpendicular en cada punt és inferior a un el pintam de blau. Per damunt, de roca calcària.

La llum de Poisson

Josep L. Pol i Llompart — 2012-07-01T02:46:16Z

Quan un feix de llum incideix sobre un forat, si aquest és prou petit en relació a la distància en què es projecta aquell, la geometria de la projecció és un cercle, o en el cas d'una superfície no perpendicular al feix, lògicament, una el·lipse.

Això és exactament el que passa amb la llum que ha travessat el forat de la clau d'aquesta porta. Si posàssim la mà, o un paper a prop de la porta, retrobaríem el perfil del pany. Però lluny... una el·lipse gairebé perfecte. L'explicació de tot plegat la va avançar Christian Huygens (1629-1695) en formular el seu principi. Qualsevol punt que rep un front d'ones, es converteix en un emissor secundari d'un nou front. La naturalesa ondulatòria de la llum (recordau la disputa amb els Newtonians que trobaven que era corpuscular, la cara i la creu d'una mateixa moneda) fa que a les voreres del forat s'hi produeixin efectes de difracció que porten a la circular conseqüència.

Aquesta és, per exemple, l'explicació de les ones circulars que reprodueix na Foradada (que fa de vorera d'un forat, bon exemple!) en el front d'ones gairebé paral·leles que li arriben de lluny, des de la dreta.

Doncs intentant explicar més a fons tot això, Agustin Jean Fresnel (1788-1827) coetani per tant de Beethoven, presentà un informe davant un tern d'asos: Laplace, Poisson i Biot.

En analitzar-lo, Poisson dugué els postulats teòrics que predicava el model de Fresnel a les últimes conseqüències i deduí, matemàticament, que l'ombra d'un punt opac havia de ser precisament un punt lluminós rere seu! El tribunal, encoratjat pel president de l'Acadèmia, François Arago, muntà l'experiment per comprovar aquest fet insòlit i comprovà, efectivament, que així succeïa. Una vegada més, les matemàtiques s'havien avançat a l'experiència. (Podeu llegir més sobre aquesta història en el blog de Fernando del Álamo, Historias de la Ciencia.)

París, bressol de la matemàtica i la ciència moderna, dedica els millors monuments als seus científics. La República Bananera on ens ha tocat viure manté secretàries d'Estat de Recerca (Carmen Vela) que no s'estan de dir que a Espanya hi ha massa investigadors (Diari ARA, 1-7-2012, pàg. 29).

Aigua fracturada

Josep L. Pol i Llompart — 2012-06-12T00:46:00Z

És conegut que el neologisme fractal fou introduït per Benoît Mandelbrot a partir del llati fractus, fragmentat. La posició de macro per a una càmera relativament senzilla ens revela aquesta espectacular geometria fractal per a l'humitat condensada sobre les parets d'una copa d'aigua freda. Ho va dir el mateix Mandelbrot:

Les formes de la natura són fractals i múltiples processos d'aquesta es regeixen per comportaments fractals.

Flors de baladre en un torrent

Josep L. Pol i Llompart — 2012-05-19T12:58:00Z

Passejant per vorera de mar a Santa Eulària des Riu (Eivissa) em sorprèn aquesta tanyada escapçada de baladre que em recorda les espirals de doble gir de les columnes de Gaudí.

En efecte, el tall deixa a la vista la forma de la medul·la, que s'ha secat i ha deixat el buit central. Una forma que podríem descriure com a triangular amb petites protuberàncies al centre de cada costat.

Aquest triangle ve donat pel fet que les fulles de baladre neixen a cada nus de tres en tres, com es pot veure a la imatge següent.

Com gairebé sempre al món de les plantes, els nusos de fulles es succeeixen de forma helicoïdal, de manera que es podria dir que els triangles van rotant. Si això fos senzillament així, el que tendríem seria un triangle més o menys equilàter que aniria canviant d'orientació. Però si tallam la tija més amunt, trobam una imatge com la següent:

Es veu perfectament la intersecció de dos triangles, més marcat el que correspon a les posicions dels tres pecíols de les fulles corresponents. Per tant, en algun moment, els dos triangles del doble gir tendran el mateix pes i la figura generada serà molt semblant a un hexàgon. Cosa que efectivament trobam en la fotografia següent.

La primera vegada que vaig sentir parlar del doble gir en el baladre fou l'any passat, en una visita a la Sagrada Família de Gaudí. En una petita exposició vora la portalada del naixement, se'ns parla sobre la relació de la natura amb l'obra de Gaudí i allà mateix hi trobam una tija de baladre amb els talls triangular i hexagonal. Un magnífic exemple per visualitzar les columnes de doble gir del temple (cosa que podem veure directament en viu i en directe a l'interior de la basílica o a l'exposició de les escoles velles).

També podem mirar el capítol corresponent del magnífic "Quèquicom" de TV3. O simplement deixar-nos encisar per la música i la lletra que Isidor Marí dedicà a aquest arbust mediterrani (del disc En aquesta illa tan pobre, 1976).

Flors de baladre en un torrent

per on no passa mai sa gent,

amb poca cosa en tenen prou

per treure un altre color nou.

...

Una pell de mandarina loxodròmica

Josep L. Pol i Llompart — 2011-04-30T10:36:29Z

Fora de l'àmbit propi (cartografia, geografia, matemàtiques...), poca gent és conscient de la impossibilitat de representar fidelment la bolla del món en un pla. Res més senzill que mostrar-ho als infants: basti pelar una mandarina o esclafar un ou.

La representació del món ha fascinat les persones des de ben antic i, d'ençà que sabem que vivim sobre una superfície aproximadament esfèrica, la necessitat de tenir bones representacions sobre un pla ha estat fonamental en el domini del comerç, de la mar, de la guerra, del nou món...

Per la seva situació estratègica, Mallorca ha estat bressol d'alguns dels millors cartògrafs de la història (basti citar l'atles català dels Cresques o les cartes de Felip Bauçà amb les que Darwin pogué viatjar amb el Beagle).

Bàsicament, les grans rutes marítimes podien respondre a dos tipus de línia: la geodèsica, és a dir, el camí més curt entre dos punts sobre una superfície i que, en una esfera, correspon al cercle màxim que passa per aquests dos punts. I la loxodròmica, que és aquella línia que va d'un punt a un altre, mantenint fix el rumb de la brúixola. Aquesta línia, que evidentment ja no té perquè ser la més curta, tenia l'avantatge de ser molt senzilla de seguir.

La loxodròmica fou invenció del matemàtic i geògraf portuguès Pedro Nunes cap a 1537 i la famosa projecció del seu coetani Gerardus Mercator imposa que aquesta loxodròmica (realment una helicoide esfèrica) es transformi sobre el pla en una línia recta.

Les fraccions del cel

Josep L. Pol i Llompart — 2010-08-12T04:00:00Z

Port de sa Ràpita, Campos

El manual d'estil del Servei Meteorològic de Catalunya defineix l'estat del cel per l'aspecte que ofereix en funció de la presència o absència de nuvolositat. Curiosament, les categories s'estableixen a partir dels vuitens de cel cobert per núvols, segurament per allò d'anar dividint el cel en meitats consecutives. Així tenim:

1.- Cel serè o ras: 0 vuitens de cel tapat

2.- Cel poc ennuvolat: entre 1 i 2 vuitens de cel tapat

3.- Cel mig ennuvolat: entre 3 i 5 vuitens de cel tapat

4.- Cel molt ennuvolat: entre 6 i 7 vuitens de cel tapat

5.- Cel cobert o tapat: 8 vuitens de cel tapat

Certament i a jutjar per la finestra de l'objectiu, aquest dia de setembre de 2009 hi havia un cel -pel cap baix- molt ennuvolat. Tant, que vàrem haver de córrer!

Solució única? No, gràcies

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-22T14:11:58Z

Passejant per les bardisses de la Universitat em sorprèn una catifa groga de flors. Es tracta de plantes de la família de les papilionàcies, nom que els botànics han concedit a aquest immens grup de plantes (devers 12.000 espècies en tot el món) per l'evident semblança dels pètals amb les ales d'una papallona. Classificar una papilionàcia només veient la flor pot ser una tasca difícil -quan no impossible- fins i tot per un expert.

Cal ajupir-se, observar i descobrir que aquesta mateixa idea de flor té, en un redol d'un pam quadrat, quatre solucions. Si la flor és el problema, els fruits són les solucions. Quatre que competeixen entre si per imaginatives. Quant ens queda encara per aprendre de la natura! mentre perdem el temps amb exercicis de solució tancada, única i anodina.

Solució 1:

Solució 2:

Solució 3:

Solució 4:

Desproporcionat principi de Fermat

Josep L. Pol i Llompart — 2009-12-19T14:54:06Z

Quantes imatges de papallona hi ha en aquesta fotografia? Hom diria que hi ha la principal, orientada cap a la dreta, i quatre imatges especulars més orientades cap a l'esquerra. En efecte, quan un raig incideix sobre un medi transparent, part es reflecteix i part es refracta. Això és el que passa amb les quatre superfícies que presenten els dos vidres.

Criden l'atenció, emperò, les diferents separacions entre aquestes quatre reflexions. La primera de la segona, igualment separades que la tercera de la quarta, però amb molta més distància entre la segona i la tercera.

Parlant amb amb el vidrier de sa Cabaneta, ens fa saber que un vidre d'aquestes característiques és un 4-6-4, és a dir, 4 mm de vidre, 6 mm de buit i 4 mm més de vidre. Clarament, els reflexos corresponents no conserven aquestes proporcions. Què passa? Evidentment, d'això en té la culpa allò que en òptica s'anomena refracció.

Si un raig de llum no canviés la seva direcció en canviar de medi de propagació, la situació que tendríem seria la següent i, aleshores, els reflexos mantindrien la proporcionalitat de les gruixes i separacions entre vidres.

Però tothom sap que els rajos de llum es desvien quan passen de l'aire a l'aigua o al vidre. És el clàssic efecte de la cullera trencada dins el tassó d'aigua. Aquest fet provoca, tal i com apareix a l'esquema següent, que la distància entre els dos rajos d'un mateix vidre disminueixi mentre que es manté constant la que separa els dos vidres.

Willebrod Snell formulà el 1621 la llei que duu el seu nom i que verificava que quan un raig de llum incideix en un medi diferent, la relació entre els sinus dels angles d'incidència era inversament proporcional a la relació entre els índexs de refracció. És a dir, que

Aquesta llei es pot deduir a partir d'una de més general, el principi de Fermat, formulat el 1657, que afirma que el temps emprat per un raig de llum en anar d'un punt a un altre és mínim. Hem de recordar que els índexs de refracció depenen de la velocitat amb què la llum es desplaça a través d'un medi diferent del buit. Per tant, en un medi com el vidre en què la velocitat és menor, la llum modifica la seva trajectòria en el sentit de disminuir el recorregut pel medi més dens. Això fa que l'angle d'incidència en aquest medi sigui, per tant, menor.