SBM-XEIX

Desigualtat triangular... a la japonesa

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-29T14:40:42Z

A les grans ciutats del Japó (aquesta és Kioto) trobam aquesta mena de passos de vianants que contemplen totes les possibilitats simultàniament. El primer pensament fou que aquest sistema no podia ser òptim, ja que no combinava el pas de persones amb el pas de cotxes. És a dir, hi ha moments en què els vianants poden anar en qualsevol... de les vuit direccions! mentre que els cotxes han d'estar necessàriament aturats en totes elles. Però després me'n vaig témer que aquest raonament era perquè a casa nostra, sembla que allò important són els cotxes i no els vianants. Al manco d'aquesta manera, els vianants poden fer ús de la desigualtat triangular i estalviar-se un grapat de passes. Les persones primer!

Suposem una síndria esfèrica...

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-05T13:19:27Z

Grans magatzems, Tòquio

... doncs no! Almanco a Tòquio podem trobar síndries cúbiques! La pregunta que ara s'imposa és... i què hi guanyam amb síndries d'aquesta geometria? Per començar, podríem argumentar que així la síndria no presenta el problema de rodolar per la gelera o que hi cap millor en les seves prestatgeries. Però com que habitualment les modificacions no van en la direcció d'afavorir el client, sinó el comerciant... què hi guanya doncs el comerciant? Doncs el comerciant hi guanya prou. Per començar, en els viatges de transport de l'hort (si és que encara les fan a l'hort) a la botiga, el volum de càrrega del camió es pot aprofitar en un terç més (les esferes apilades segons la conjectura de Kepler -la millor com practicament demostrà Thomas Hales el 1998- ocupen només el 74% de l'espai). A més, com que el repòs sobre una cara plana dismuneix la pressió sobre la pell, les síndries no es copegen tant i se'n tuden menys.

I què hi perdem nosaltres? Doncs que pagam més pell i menys polpa. Arquímedes, ja havia conjecturat que l'esfera havia de ser la figura òptima que presentàs menys superfície per unitat de volum (cosa que convertí en teorema Hermann Schwarz el 1884).

La pregunta que ara s'imposa, doncs, és, quina forma haurien de tenir les síndries per deixar contents comerciants i consumidors? El mateix Kepler, observant els grans d'una magrana, observà l'encaix de dodecaedres de cares ròmbiques. Lord Kelvin feu una proposta l'any 1887 a partir de formes parescudes a un octaedre truncat i no va ser fins el 1993, que Weaire i Phelan descobriren altres formes que milloraven l'estructura en un 0,3%! Estructura que varen aprofitar els arquitectes del Centre Olímpic de Natació (el cub d'aigua) de Pequín a les olimpíades de 2012.

Síndries Weaire i Phelan? Què voleu que vos digui...

Per què els poals de fems són rodons?

Josep L. Pol i Llompart — 2013-01-03T12:50:54Z

Recuper aquesta foto, on dues ajudants sol·lícites s'esforcen en facilitar al màxim la introducció de les fulles seques del corral de casa dintre la bossa. Encara eren massa joves per saber que la màxima superfície d'un quadrilàter s'obté amb el quadrat corresponent. Però segur que la intuïció les allunyava dels rectangles massa allargats. De fet és un exemple preciós de càlcul d'àrea per a un perímetre constant.

A batxillerat, aquest és un clàssic en l'aplicació de les derivades per als càlculs de màxims. Però una altra manera elegant d'enfocar el problema es pot pensar a partir de la fórmula de suma per diferència, com de fet ja ho férem en una altra mirada. En haver de multiplicar els dos costats d'un rectangle per saber la seva àrea, sempre es podrà millorar la superfície en una quantitat igual a la distància que separa cada un dels dos costats de la seva mitjana, al quadrat. Això és el que ens diu la suma per diferència, no?

Clar que si tinguéssim més mans, podríem canviar el polígon i millorar-lo encara més en superfície útil. Serà per això que els poals de fems són rodons?

Optimització edificada (NY02)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-14T00:00:00Z

Hearst Tower, New York

Crida l'atenció l'estructura en forma de graella diagonal que Norman Foster va dissenyar per a la Hearst Tower. Els triangles que la componen es veuen reforçats per suports diagonals entrecreuats fets d'acer que donen resistència a l'edifici, i distribueixen el pes i les forces internes de manera òptima. Aquesta carcassa permet que els diferents pisos se sostinguin per ells mateixos sense la necessitat d'emprar columnes que llevin espai i per si tot això fos poc, la quantitat d'acer estructural (que, per a més fer, és 80% reciclat) necessari per construir aquest gratacels tan sorprenent és un 20% inferior a la que es necessita per a les torres convencionals. A més es tracta d'un edifici pioner en la sostenibilitat mediambiental pel que fa a estalvi d'energia i ús eficient dels recursos.

En relació a això, una de les aplicacions de les matemàtiques que al llarg de la història ha trobat més profit per a la societat, és l'optimització. Un problema d'optimització consisteix a, donades unes condicions inicials fixes, determinar unes variables que es troben en un interval, de manera que es trobi un màxim o un mínim del resultat, optimizant-ne el procés. Un exemple bàsic és, donada una làmina d'àrea fixa, trobar les dimensions d'una capsa que es pot construir amb la làmina, perquè el volum de la capsa resultant sigui màxim. Està clar que l'objectiu d'estudiar aquests problemes és l'eficiència en la utilització de recursos, tan necessària cada vegada més.

En poques paraules, la Hearst Tower és l'optimització edificada.