SBM-XEIX

Paradoxa del martell

Daniel Ruiz — 2009-07-15T00:00:00Z

Tren rodalies Màlaga - Fuengirola

Amb aquesta mirada que fa 150, us vull presentar una situació una mica paradoxal que em vaig trobar en un tren. Veient la inscripció ens pot venir al cap la pregunta:

Com s'ha de rompre el vidre que conté el martell?

Com diu la inscripció, el martell és el que romp els vidres i per tant, no hi ha cap altra manera (a priori permesa) per rompre els vidres...

Aquesta situació em recorda una de les paradoxes més importants de la lògica del segle XX: la paradoxa de Russell. Descrita el 1901, demostrava que la teoria de conjunts descrita per Cantor i Frege duia a una contradicció. Una de les múltiples versions d'aquesta situació és la paradoxa del barber:

En un poble llunyà hi havia un únic barber. Un dia el rei es va adonar que hi havia pocs barbers al regne i va ordenar que els barbers només afaitarien aquelles persones que no poguessin fer-ho per elles mateixes. Però al barber li va sorgir un dubte que va consultar amb el rei:

Al meu poble som l'únic barber. Si m'afait, puc afaitar-me per mi mateix, per tant el barber del meu poble no hauria d'afaitar-me..., però resulta que l'únic barber del meu poble som jo!

El rei va pensar que els pensaments del barber eren tan profunds que el va premiar amb la mà de la més virtuosa de les seves filles. Així el barber va viure per sempre feliç.

Una de les solucions propostes pels matemàtics va ser l'axiomàtica, avui en dia vigent, de Zermelo-Frankel, en què aquestes situacions són impossibles per axioma.

Ben mirat, el rei no anava tan descabdellat... I si, directament, el martell no tengués cap vidre per accedir-hi?

Enllaços:
Article a epsilones
Article a la wikipedia (AN)
Article a la wikipedia (ES)

Convencionalisme geomètric

Josep L. Pol i Llompart — 2009-05-31T00:13:00Z

Aeroport de Maó, Menorca

Una de les principals preocupacions en la història de les matemàtiques ha estat la caracterització de l'espai. Descartes féu, sens dubte, una de les contribucions més importants en aquest aspecte. Molts pocs anys després, el mateix Newton en les primeres pàgines dels seus Principia parla de la dicotomia entre espai relatiu i espai absolut, i de la possible existència d'aquest darrer.

Però els temps van girant el punt de mira, i de la preocupació ontològica dels éssers en si mateixos, es passa a la discussió epistemològica, és a dir, a l'estudi del coneixement i de la seva realitat com a procés mental.

Diu Poincaré que en realitat, l'espai és amorf, una forma flàccida, sense rigidesa, adaptable a tot i mancat de propietats per si mateix. (L'Espai i el temps, 1912)

Espai euclidià o univers corb? Segons el matemàtic francès els axiomes de la geometria no són altre cosa que pura convenció, una crossa del nostre enteniment per caracteritzar ja no l'univers, sinó els seus canvis, que és l'únic que ens donen els sentits. No té sentit parlar de quina és la geometria vertadera de l'univers perquè aquest no en té cap.

Quadrar el cercle?

Daniel Ruiz, Josep L. Pol i Llompart — 2007-09-03T09:00:00Z

Sa Casa Blanca, autovia a Manacor

La recerca dels axiomes primigenis del coneixement matemàtic ha ocupat bona part del quefer professional al llarg de la història. Qui ha dit que a la matemàtica, o al pensament científic en general, hi hagi d'haver normes indiscutibles? Existeixen allò que Kant anomenava judicis sintètics a priori, és a dir, tipus de raonament vàlids, indiscutibles, universals, independents de l'activitat humana? S'ha demostrat en més d'una ocasió que variant mínimament aquestes suposades normes quasi absolutes, es pot arribar a conseqüències de gran importància. L'aparició de les noves geometries no euclidianes, obviant l'axioma de les paral·leles i introduint-ne un de nou, n'és un exemple gairebé clàssic. I és que la genialitat de les bones idees transcendeix la seva particular novetat en el trencament de l'status conegut fins al moment, i en la posterior acceptació per la resta de la comunitat (no sense esforços i problemes). Esperit crític en tots els raonaments, fins i tot en les normes que els regeixen. I si això implica rompre aquestes normes i trobar-ne de noves, s'ha de fer.

Fa gairebé dos anys que aquesta secció de mirades matemàtiques passeja per la xarxa. De fet, es tracta d'una de les primeres seccions de la nostra web. Una activitat que pretén combinar l'afecció per la fotografia amb una mirada especial i original de la realitat a partir del prisma de les matemàtiques. El títol de la secció, si ho recordeu, el manllevàrem a Claudi Alsina de la seva conferència a la Jornada Inaugural de la SBM-XEIX a la fundació Pilar i Joan Miró de Palma.

I vet aquí que clicant, clicant, hem arribat al centenar de mirades. Des del nostre humil racó, volem botar-nos el "prohibit anar a més de cent", i continuar amb aquesta interpretació de la realitat des d'una perspectiva matemàtica pròpia i, en la mesura de les nostres possibilitats, original. Una mirada rodona per a un nombre quadrat.

Rosassa cosmològica

Josep L. Pol i Llompart — 2007-08-15T01:37:23Z

Església de Puigpunyent

El 1445, l'italià de Siena Giovanni di Paolo pintava el quadre titulat la creació del món i l'expulsió del Paradís, que es conserva al Museu Metropolità d'Art de Nova York. El mateix any, per cert, que a Sansepolcro naixia Luca Pacioli. Idò aquesta pintura, serví d'inspiració a Ben Jakober, segons ens ha comentat ell mateix, a l'hora de reformar els vitralls de la petita església de Puigpunyent. D'entrada, crida l'atenció el fet que les diferents corones circulars que l'integren no siguin concèntriques. Un recurs artístic?

Cal dir, d'entrada, que l'original de Giovanni sí que té les corones concènctriques i, a més, en quantitat superior. En aquells moments, la concepció cosmològica de l'Univers feia la Terra centre de tot, segons les idees de Claudi Ptolemeu (s. I-II dC). És així que l'original té precisament la Terra ocupant el cercle central. No seria fins quasi cent anys després d'ésser pintat, l'any 1543, en què Andreas Osiander publicaria pòstumament la cèlebre obra de Nicolau Copèrnic de Revolutionibus Orbium Coelestium. És la revolució copernicana (que col·locava definitivament el Sol en el centre del nostre sistema) i que ja havia començat a ser divulgada un parell de dècades abans. Cinc anys després, el 1548 naixia Bruno. Giordano (que nasqué amb el nom de Filippo) generalitzà el model copernicà de manera que –postulava- si la potència divina és infinita, també ho ha de ser l'univers, compost per tant, per infinits sistemes planetaris. Si això és així –deia- qualsevol punt és el centre de l'univers. Quin problema hi ha, idò, en no centrar les corones de la rosassa? Giordano Bruno moria cremat per les seves idees al Campo dei Fiori de Roma l'any 1600. L'Església reconeixia només fa uns anys un error a la seva condemna.

La font del coneixement matemàtic

Josep L. Pol i Llompart — 2007-08-06T14:59:41Z

S'Olivaret, Alaró

Ja podeu suposar, d'entrada, que el títol d'aquest articuletxo és pur marketing. Dintre les possibilitats d'encapçalament, matisat per la pell vidriosa de les alfàbies, s'hi bellugava també un igualment agosarat “Ens podem refiar dels sentits?”. No hi ha filòsof o savi en la història del pensament que no hagi abordat aquest tema. Evidentment no hi trobareu la resposta en aquestes línies (són buides les alfàbies?) que només serviran com a caixa de ressonància del que –entenc- pensaven dos dels cappares de la matemàtica del s. XX.

Deia Hardy que “la realitat matemàtica es troba fora de nosaltres i que la nostra missió és descobrir-la o observar-la, i que els teoremes que nosaltres demostrem i que ufanosament descrivim com a creacions nostres, són simplement les notes de les nostres observacions”. Hardy entén que “un matemàtic, de la mateixa manera que un pintor o un poeta, és un constructor de models” i que aquests es poden anar canviant i millorant amb el temps. Però “la veracitat dels teoremes que està provant, no resulta afectada per la qualitat dels seus dibuixos”. Ho ha dit al principi: encara que els models siguin imperfectes, responen a una realitat exterior.

Poincaré, en canvi, defuig la qüestió ontològica sobre si existeixen els objectes o no perquè “això és un assumpte dels metafísics”. “En matemàtiques, la paraula existir no pot tenir més que un sentit: significa lliure de contradicció.” El quefer matemàtic és només "una eina poderosa que ens permet captar i transformar la naturalesa" i la seva existència resideix en la raó humana. És cert, confessa Poincaré, que el coneixement parteix de l'experiència però “l'única realitat objectiva consisteix en les relacions de les coses”. Les definicions no poden donar essències, només utilitats.