SBM-XEIX

Un clàssic, d'arena

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-04T10:19:21Z

Platja de Ses Covetes, Campos

Passejant per l'arenal de ses Covetes, em top amb aquesta piramidal construcció d'arena. Un clàssic que apareix a tots els llibres de text en el tema de les successions. I no és per menys. Les cares laterals ens mostren els nombres naturals consecutius, de dalt abaix i la seva suma, els nombres triangulars. Per capes, apareixen els nombres quadrats perfectes i les seves sumes... s'havia plantejat el seu autor o autora quantes bolles hauria de fabricar perquè la piràmide tengués deu pisos? Si en comptes de ser una piràmide de base quadrada l'hagués feta de base triangular, tendrien la mateixa altura els deu pisos corresponents?

Un problema de llibre

Josep L. Pol i Llompart — 2012-09-26T10:57:40Z

No, no es tracta d'una frase feta. Vertaderament, la primera vegada que vaig trobar aquest problema fou en un llibre, de text. Avui, en una escola de Ciutat, he trobat aquest mirall que el m'ha recordat. Deia, poc més o menys:

a) Quina és la diferència de longitud entre una circumferència de 5 m de radi i una altra de 10 m? b) Quina és la diferència de longitud entre una circumferència de 100 m de radi i una altra de 105 m? (Intenta pensar, abans de fer els càlculs per al segon apartat, si el resultat serà major, menor o igual que el del primer apartat.)

Un problema ben maco. Calcular per fer pensar. Pensar abans de calcular. La situació del mirall és -aproximadament- la mateixa. Dit d'una manera més senzilla i ben contextualitzada: podria saber el vidrier, comptant els quadrets de les dues primeres circumferències, quants en necessitaria per fer les següents? La solució la teniu davant.

L'altre record que em duu aquest mirall és el de l'episodi de Gauss i el gravador de la seva tomba. Diuen que un dels descobriments dels que estava més orgullós, era el d'haver trobat la manera de construir l'heptadecàgon regular a la grega, és dir, només amb regle i compàs (1796). N'estava tan cofoi, que va voler que gravassin aquesta figura a la seva tomba. Emperò el gravador va dir que no es podia fer perquè pràcticament el que es veuria seria una circumferència. Pobre Gauss. I és que la circumferència més interior d'aquest mirall, és en realitat un polígon de 53 costats! Potser tenia raó el picapedrer...

Recordant Bach

Josep L. Pol i Llompart — 2012-07-28T00:05:00Z

Sentir sonar un orgue històric com el de la basílica de Sant Francesc de Palma de les mans (i peus) del seu titular, Arnau Reynés, és sempre un luxe, quant i més si el que sona és de Bach. La relació del mestre de Leipzig amb les matemàtiques ha esdevingut un tema gairebé mitològic. Segurament hi té molt a veure la tremenda productivitat de Bach. És tan gran, que és un camp adobat per cercadors de esotèriques relacions entre música i nombres. Trobar ordres musicals en l'obra de Bach que traduïts a nombres tenguin algun sentit, és tan fàcil com trobar el teu nom en algun tram decimal del nombre d'or si el que vols afirmar és que ets perfecte. Probabilitat u. Llevat d'alguns estudiosos que es prenen el tema seriosament, trobareu afirmacions copiades d'algú que ha interpretat el que havia migllegit en una pàgina d'internet...

Però és cert, hi ha evidències inqüestionables. Mirant un fòrum de discussió divertidíssim trob que "Bach morí tal dia com avui, un 28 de juliol de 1750. 28 del 7, és a dir, 28 per 7, que és el mateix que 14x14. I clar, tothom sap que en guematria, l'art cabalístic de posar nombres a les lletres, B+A+C+H sumen catorze! Però clar, d'això de triar el dia de la teva mort se'n diu suïcidi." Si fos així, podria haver esperat un anyet i així el 1751 sumaria també catorze (1+7+5+1).

Clar que si un mira el dia de naixement, que difícilment pogué triar, resulta que fou el 21 de març de 1685. I clar, 21 del 3, 213, o sigui, BAC (ja ho sé, falta la H però tanmateix no sona i en Joan Sebastià era músic). Per tant, se demostra que fou un home escollit per Déu. Ara el problema és esbrinar quin Déu, perquè resulta que a l'Alemanya luterana, el canvi del calendari julià al gregorià esdevingué en vida de Bach, l'any 1700, i si prenem el seu dia de naixement en el calendari vigent, el gregorià, el seu natalici seria el 31 de març d'aquell mateix any i la cosa ja no funcionaria tan bé. Res, que Déu ha de ser protestant per força. Cosa que està bé saber en els temps de crisis que ens ha tocat viure.

Barrow a l'entrellum

Josep L. Pol i Llompart — 2012-06-24T11:29:54Z

Donada una funció natural, que podem acceptar com a relativament contínua en l'interval de visió cap a ponent, tal com el perfil de les muntanyes de vorera de mar a Estellencs i donat també un eix paral·lel a l'entrellum marí, la barana de l'Hotel Maristel ens ajuda a calcular, tal i com ho feia Barrow, mestre de l'altre Isaac, Newton, l'àrea compresa entre la corba i l'eix horitzontal.

Els increments marcats pels barrerons ens permeten veure la llum d'una integral que, duts al límit, haurem de convertir en diferencials. Llavors, tot s'haurà fet fosc.

Superant les barreres arquitectonicomatemàtiques

Josep L. Pol i Llompart — 2011-01-07T14:25:11Z

Plaça Fortí, Palma

Diu la normativa actual que tots els edificis públics que es construeixen actualment han d'evitar les barreres arquitectòniques. Així mateix, hi ha alguns comerços i empreses privades que fan més o menys esforços per eliminar les que ja existien. És el cas d'aquest en què, vista la bona feina del fuster, podem cavil·lar quins problemes pot haver hagut de resoldre.

L'entrada té un graó de pedra que podem prendre com un fragment d'un cilindre. Per tant, la primera qüestió que seria interessant per al fuster consistiria en saber quin és el radi que el genera. Podem midar fàcilment la corda i l'arc i d'aquesta manera... obtindríem una fórmula per calcular la incògnita?

A veure: tenim l (mig arc de circumferència) i c (mitja corda).

Així, les equacions que lliguen la informació són:

l = R .
c = Rsin (()

Per tant, no hi hauria manera d'aïllar directament el valor de l'angle ni del radi. Bé, davant això ens quedaria obtenir el radi per iteració (allò que es diu anar provant) fins a una precisió de mil·límetres o bé, prendre simplement una plantilla de paper o cartró.

Clar que després tendríem un altre problema ja que, per definició, la rampa de fusta que ens permeti salvar el desnivell haurà de marcar un pla no paral·lel al pla del graó. I clar, la línia que dibuixa una secció no perpendicular a l'eix d'un cilindre és... una el·lipse! A més a més, l'alçada a la que arribarà cada punt de la corba retallada de fusta sobre la vorera del graó serà diferent en funció de la distància al punt central.

No sé si el fuster va cavil·lar tant, però si vos fixau en la fotografia, la resolució és tan bona que s'ha pres una espècie de mitjana ja que el punt central de la rampa és una mica més baix que la vorera del graó mentre que els extrems són un xic més alts. Una meravella de resolució.

332211

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-04T10:25:57Z

La carretera de Manacor a la Colònia de Sant Pere ens presenta aquest punt quilomètric. Quina propietat pot tenir el nombre format pel codi de la carretera i els quilòmetres recorreguts? Dit d'una altra manera, podem establir un patró aritmètic comú per tots aquells nombres que presenten les seves xifres repetides per parelles (com per exemple 33558877)? És bonic pensar que la clau està precisament en el valor més simple possible, és a dir, en el nombre que només presenta una repetició i amb la xifra més baixa: l'11. Una simple aplicació de la propietat distributiva ens dona la clau:

Podem descomposar 332211 com a suma de 30201 i 302010. Si 030201 = n, llavors 302010 = 10 n i, per tant, 332211 = 11n. És a dir, que 332211 = 11 x 30201

La fita quilomètrica ens dóna doncs la resposta: aquests nombres seran divisibles sempre per 11.

En arribar a la Colònia de Sant Pere, sembla com si aquest cotxe ens estàs esperant.

Pi... aproximadament

Josep L. Pol i Llompart — 2010-03-13T11:14:46Z

La Trapa, Andratx

Andreu Ramis, erudit de la cultura popular mallorquina, ens fa arribar aquest fragment de l'art de Conró, del llorità Montserrat Fontanet (de qui ja parlàvem a una de les primeres mirades),

Nota que per canar una era o qualsevol radó hay a duas reglas: o quadrar- la y canar los quatre vents y trèurer el compte o canar-la ab duas canadas en creu y serà més aviat, y tant de una manera com de altre ca n'as tret el compte, puja lo que pujarà, has de llevar o trèurer la quarta part, y lo que quedara serà de terra.

Estam davant un cas pràctic de quadratura del cercle o, en realitat, de l'el·lipse, que és un cas més general. I dic de l'el·lipse, perquè crida l'atenció que faci dues canades en creu, cosa que podria ser per tenir en compte eres no ben rodones. (Tot i que, segurament, les eres que tenien voreres es construïen amb un centre i una corda, cosa que les feia “perfectament circulars”). Això de la creu, també podria ser per assegurar-se que havia pres la distància interior més gran possible (diàmetre) perquè, quan un cercle està traçat, tampoc no és trivial trobar el centre geomètric de manera pràctica.

Sigui com sigui, multiplicar les dues distàncies -si simplificam i pensam que l'era és ben rodona- és trobar l'àrea del quadrat circumscrit (que engloba) al cercle. Fontanet afirma, per tant, que els quatre trossets que sobren dels cantons són un quart de l'àrea total del quadrat. I tot i ser una aproximació, no es fa molt enfora.

Àrea del cercle =
Llavors, si en comptes del valor de arrodonim a 3, ja tenim els tres quarts de l'àrea del quadrat de què parla.

Això representa una diferència respecte del valor exacte de 0,1415... unitats quadrades, és a dir, del 4,5 % segurament era prou acceptable. (Tots els càlculs anteriors serveixen igualment pel cas que sigui un rectangle que engloba una el·lipse.)

Rebaixes percentuals

Josep L. Pol i Llompart — 2009-07-30T14:08:23Z

En això dels reclams comercials sembla que tot val. Fixau-vos en aquestes espardenyes esportives. El preu anterior era de 50 € i ara resulta que si les rebaixam un 20 % ens queden en 39,90 €. Curiós no?

El 50 és un punt de partida fantàstic per fer un percentatge prescindint de la calculadora. Podem donar per fet que el comercial que ho gestiona sap calcular percentatges i que, segurament, el que ha cercat és eliminar un preu de la desena dels quarantes per jugar amb els trentes, que són més atractius. De qualque manera és com si eliminant deu cèntims addicionals la nostra percepció canviàs uns deu euros. Fins a quin punt és forta la nostra percepció per truncament?

Ben pensat, hauria pogut millorar l'estratègia i dir que les espardenyes estaven rebaixades més del 20 %.

Vuit del Vuit del Vuit

Josep L. Pol i Llompart — 2008-08-08T00:00:00Z

Mirant el calendari de l'SBM-XEIX, ahir una amiga em recordava que avui hi hauria un moment en què serien les 8 hores, 8 minuts, 8 segons de dia 8 del mes 8 de l'any 8. Això ve passant des de l'any u i passarà, evidentment fins a l'any dotze. Després, haurem acabat els mesos per continuar amb la sèxtuple coincidència, almanco pel que fa a aquest segle.

Una avinentesa que podem aprofitar per repassar algunes propietats, característiques o curiositats del nombre vuit 8 (amb l'ajut també del llibre de David Wells, Curious amb Interesting Numbers).

El nombre vuit és el cub de dos, of course.

Vuit és el nombre de cares d'un dels cinc sòlids platònics: l'octaedre.

Vuit és també el 6è nombre de Fibonacci. De fet, l'únic nombre de Fibonacci (si descomptem l'u) que és el cub d'un altre.

Un nombre és divisible per vuit si ho és el nombre format per les seves darreres tres xifres.

Resulta que qualsevol nombre triangular (t=1+2+3+4...) multiplicat per 8 és sempre l'anterior d'un quadrat (8t =)

Vuit és la base del sistema octal, que per a molts seria el sistema numèric òptim en tant que conjuga una bona divisibilitat amb una quantitat de dígits equilibrada...

I vuit és el nombre de cares del cimbori de l'església de Sant Maria de Sineu, i per això ocupa un lloc destacat al nostre calendari.

L'enrajolat d'Ibn al-Banna

Josep L. Pol i Llompart — 2008-02-10T14:11:51Z

Complex Ocimax, Palma

Per preparar la fira de la ciència d'enguany, en Cesc Rosselló ens fa arribar un llibre ben interessant amb el títol de A History of Algorithms editat per Jean-Luc Chabert.

Per ell descobrim que les tauletes de Napier són en realitat una sistematització d'un algorisme més antic conegut com la multiplicació amb l'ajut de cel·les. Aquest algorisme apareix citat en un llibre d'astronomia índia del segle XVI quan en comenta un del s. XII: el Lilavati de Bhaskara. La primera descripció que apareix en les matemàtiques àrabs correspon a un llibre sobre aritmètica del s. XIII l'autor del qual és Ibn al-Banna. Igualment es troben cites de l'algorisme en llibres de matemàtiques xineses almanco des del s. XV.

Realment l'algorisme es basa en el principi de posició com el que utilitzam actualment, no podria ser d'altra manera. A la imatge ho hem fet en la direcció "occidental", però realment tots els sentits haurien d'estar invertits. Per multiplicar 63 x 59, es disposen els dos factors com a caps de les dues entrades d'una graella en la que cada cel·la s'ha dividit en dues posicions per la diagonal. Els resultats de la multiplicació creuada de cada dígit es disposen ordenadament: les unitats en el triangle inferior i les desenes en el superior. En acabat, se sumen totes les xifres d'una mateixa diagonal, tenint en compte que potser haurem d'aplicar allò de dur-ne. Ben interessant.