SBM-XEIX

Per què els poals de fems són rodons?

Josep L. Pol i Llompart — 2013-01-03T12:50:54Z

Recuper aquesta foto, on dues ajudants sol·lícites s'esforcen en facilitar al màxim la introducció de les fulles seques del corral de casa dintre la bossa. Encara eren massa joves per saber que la màxima superfície d'un quadrilàter s'obté amb el quadrat corresponent. Però segur que la intuïció les allunyava dels rectangles massa allargats. De fet és un exemple preciós de càlcul d'àrea per a un perímetre constant.

A batxillerat, aquest és un clàssic en l'aplicació de les derivades per als càlculs de màxims. Però una altra manera elegant d'enfocar el problema es pot pensar a partir de la fórmula de suma per diferència, com de fet ja ho férem en una altra mirada. En haver de multiplicar els dos costats d'un rectangle per saber la seva àrea, sempre es podrà millorar la superfície en una quantitat igual a la distància que separa cada un dels dos costats de la seva mitjana, al quadrat. Això és el que ens diu la suma per diferència, no?

Clar que si tinguéssim més mans, podríem canviar el polígon i millorar-lo encara més en superfície útil. Serà per això que els poals de fems són rodons?

Solució única? No, gràcies

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-22T14:11:58Z

Passejant per les bardisses de la Universitat em sorprèn una catifa groga de flors. Es tracta de plantes de la família de les papilionàcies, nom que els botànics han concedit a aquest immens grup de plantes (devers 12.000 espècies en tot el món) per l'evident semblança dels pètals amb les ales d'una papallona. Classificar una papilionàcia només veient la flor pot ser una tasca difícil -quan no impossible- fins i tot per un expert.

Cal ajupir-se, observar i descobrir que aquesta mateixa idea de flor té, en un redol d'un pam quadrat, quatre solucions. Si la flor és el problema, els fruits són les solucions. Quatre que competeixen entre si per imaginatives. Quant ens queda encara per aprendre de la natura! mentre perdem el temps amb exercicis de solució tancada, única i anodina.

Solució 1:

Solució 2:

Solució 3:

Solució 4:

Suma per diferència

Josep L. Pol i Llompart — 2010-03-11T00:45:00Z

Preparant material per a les proves Cangur, ens trobam amb aquest rotlle de gomets agrupats en rectangles. Curiosament, 11 files de 9 gomets. I em ve al cap allò que

Perquè, efectivament, al primer rectangle d'11 x 9 li podem tallar una fila de 9 i transformar-la en columna, la qual cosa ens donarà un quasiquadrat de 10 x 10 al qual li falta 1 gomet. És a dir, que

sqrt(50)=5sqrt(2)

Pili Royo — 2009-10-15T13:46:34Z

Ja sabem que és impossible veure tot allò que es troba a la vista, encar que cada dia hi passem per sobre. Però les demostracions visuals sovint poden resultar-nos interessants, i aquestes humils rajoletes d'un carrer d'A Coruña o de qualsevol altra ciutat ens mostren, amb l'ajut del teorema de Pitàgores, que essent sqrt(2) [arrel quadrada de 2] la diagonal del quadrat d'una rajoleta, sqrt(50) resulta ser equivalent a 5sqrt(2). Ho veiem en els triangles rectangles isòsceles que s'han format amb les rajoles.

També veiem que sqrt(32)=4sqrt(2), sqrt(18)=3sqrt(2), sqr 8=2sqrt(2)... I ja posats, també podem observar que la successió de termes 2, 8, 18, 32, 50... respon a l'expressió

Alguns plans, tots els plans

Josep L. Pol i Llompart — 2009-09-15T10:52:50Z

Si prenen un rectangle de cartró prou allargat i l'anem doblegant en rectangles més petits, podríem obtenir alguna cosa semblant a l'escultura que Tomeu Ventayol realitzà en acer Corten el 1993, i que trobem al carrer d'Alfons el Magnànim, a la rotonda de devora el Conservatori.

Però la imitació així generada, tendria tots els vectors característics dels plànols corresponents coplanaris. És a dir, el sistema format per totes les equacions implícites d'aquestes varietats lineals tendria rang dos (igual que les pàgines d'un llibre).

Si ara mirem l'escultura des d'un altre angle, ens adonarem que Ventayol fa servir quadrilàters no rectangles, la qual cosa dóna a la peça aquella forma que en diuen "ala de corb" i que fa que realment el rang del sistema sigui tres. Per tant, la combinació de tres plans linealment independents ens permetria obtenir qualsevol pla del nostre estimat espai tridimensional.

Demostracions visuals a Formentera

Josep L. Pol i Llompart — 2009-02-22T11:22:43Z

Sant Francesc, CEP de Formentera

L'edifici que acull el CEP de Formentera és una obra dels anys vint que té algunes característiques matemàtiques interessants. Entre d'elles, el trespol de rajola hidràulica. No és aquesta la primera mirada que mereixen aquest tipus de tessel·lats: recordau la de Pilar Oliva titulada precisament Rajoles hidràuliques. Fixau-vos com aquesta peça ens ofereix la demostració visual del quadrat d'un binomi.

En efecte, és fàcil comprovar com:

Però és que, a més, quan observam la combinació d'aquestes rajoles, tornam a tenir la repetició augmentada d'aquesta demostració. És també fàcil veure que:

Aquesta demostració geomètrica és un clàssic. La podeu fer també amb els reglets de Maria Antònia Canals. A Campos, la fàbrica Huguet conserva la tradició de fabricar aquest tipus de rajoles que tant es varen emprar durant el modernisme.

Triàngels contra quadracs

Josep L. Pol i Llompart — 2007-12-12T00:00:00Z

Catedral de Sant Pere, Bremen

A Miquel Desclot.

A la catedral de Bremen trobam aquest plafó numèric que suposadament deu correspondre a les referències de capítol i versicles d'algun llibre religiós com podrien ser salms o cantorals. Si ens entretenim a mirar els seus nombres, veurem com dels onze que hi ha, deu són imparells mentre que l'únic parell explícit, el setze, és un quadrat perfecte. Si fem la suma indicada com a 1 + 3 + 5, obtindrem el resultat de 9, un altre quadrat perfecte. 179, per contra, és un nombre primer. De fet, ho són tots els del plafó excepte, lògicament, el setze i l'u. Hi ha alguna regla que relacioni tot això? Doncs allò que la suma dels n-primers nombres senars consecutius és sempre el quadrat d'n. La demostració algebraica és molt senzilla i només requereix la fórmula per a la suma d'una progressió aritmètica, of course. Però també és interessant trobar una demostració visual pensant amb els nombres triangulars (que tan bé s'escauen a una església pel fet de ser considerats divins).

Això em duu a recordar la Batalla espacial de Miquel Desclot (Barcelona 1952) que tinguérem el plaer d'escoltar en boca de Sebastià Riutort el dia de la vetlada de Poesia i Matemàtiques a la Fundació ACA. Un poema que parla de la lluita entre un àngel que tenia tres angles -i que per tant era un triàngel- i un drac que tenia quatre costats -i que per tant era un quadrac. En aquest cas, la geometria obra el miracle de la reconciliació.

Una lluna cartesiana

Josep L. Pol i Llompart — 2006-06-15T08:00:00Z


Una lluna cartesiana

Casal Solleric, Palma

La lluna ha estat des de l'albada dels temps un símbol d'allò ideal, d'allò més pur. Quan una persona vol allò inabastable es diu que demana la Lluna. Però al llarg de la història, alguns savis han aconseguit de caçar-la. Podríem dir que René Descartes (1596 - 1650) ho feu amb els seus filats. El 8 de juny de 1637, publica a Leiden el seu “Discurs del mètode per guiar bé la raó i cercar la veritat en les ciències, seguit de la diòptrica, els meteors i la geometria, assaigs sobre aquest mètode”, conegut senzillament com a “Discurs del Mètode”. Amb aquesta obra assistim al naixement de la Geometria Analítica. Descartes segueix el camí traçat per Euclides i altres clàssics, però amb la genial idea d'introduir un sistema de referència geomètric que dotarà els punts de l'espai d'unes coordenades -a partir d'ara- cartesianes. És tracta d'una simplificació, d'una abstracció del natural marc de referència espacial a què està subjecte qualsevol objecte. Ha costat mil·lenis, però ara ja es pot parlar amb propietat matemàtica de posició relativa. Amb les coordenades cartesianes, l'àlgebra es posa a disposició de la geometria i aquesta, dota de significat geomètric les operacions algebraiques. Que menys, doncs, que dedicar a Descartes un cràter de 48 km a la Lluna.

Les disquisitione de la seu de la SBM-XEIX

Josep L. Pol i Llompart — 2006-06-04T08:00:00Z


Les disquisitione de la seu de la SBM-XEIX

Sa Cabaneta

Carl Friederich Gauss és conegut amb el sobrenom de príncep de les matemàtiques i considerat com una de les ments matemàtiques més brillants de tots els temps. El príncep Gauss afirmava que si les matemàtiques eren la reina de les ciències, l'aritmètica (ara en diríem Teoria dels Nombres) era la reina de les matemàtiques. A l'edat de 15 anys, Gauss ja havia formulat un famós teorema sobre nombres primers. Curiosament, Gauss nasqué un dia d'un any que és nombre primer (1777) el mateix any en què Euler donava el nom d'i a l'arrel de menys u. També en un any primer, el 1801 (curiosament la matrícula del cotxe de na Coloma veïnada de la seu de la societat), publicava la seva obra magna Disquisitione Arithmeticae en la qual destaca el Teorema Fonamental de l'Àlgebra, i que diu que una equació polinòmica té tantes solucions com indica el seu grau. De Gauss són el famós mètode de reducció per resoldre sistemes d'equacions i la omnipresent campana que porta el seu nom. Però seva és també la -no molt afortunada- frase de: amb els alumnes bons no fan falta professors i, amb els xerecs, perquè molestar-se. Déu n'hi do!

Quan els conills saben llegir les hores

Jaume Perelló — 2006-02-22T08:00:00Z


Central Park, Nova York

Tot sovint als matemàtics i matemàtiques ens agrada jugar amb les propietats de les coses. Un bon exemple d'això s'en pot trobar a l'àlgebra, on exigim que un conjunt amb aplicacions associades compleixi certes propietats. Al final de moltes de les demostracions, els més curiosos, ens demanam si realment feia falta tot allò que exigíem. Feim proves eliminat tal o tal altra propietat, aconseguint, la majoria de vegades, un bon maldecap com a únic premi.

El Matemàtic Charles Lutwidge Dodgson (més conegut com Lewis Carrol) va fer també les seves juguesques. El conjunt triat: "la societat de la seva època", l'aplicació eliminada: "la cordura". D'aquí naixeria l'obra que el faria famós: "Alícia en terra de meravelles". Un seguit de situacions absurdes i intel·ligents similars als raonaments que es gesten dins els cervells dels matemàtics quan intenten deduir resultats eliminant una o altra hipòtesis que al final resulta ser necessària.

La fotografia que acompanya aquest escrit està feta a Central Park, Nova York, a una grandiosa escultura d'aram dedicada al conte de Lewis Carrol. El que veis a la fotografia nomes n'és una petita part. En ella podeu veure el conill que Alícia va seguir pel forat que la faria arribar a la terra de les meravelles. El principi d'una història que en llenguatge matemàtic començaria així: "Suposem que existeix un conill que sap llegir les hores a un rellotge analògic..."

La gent pensa que els matemàtics som bojos i potser tenen raó. Som tan bojos com ho pot ser qualsevol poeta.