SBM-XEIX

Façana sinusoïdal

Lluís Rivero Siquier — 2013-02-10T11:58:12Z

En aquesta fotografia es pot observar la façana d'un edifici que fa cap de cantó a les Avingudes de Palma. Està decorada amb unes rajoles disposades de tal manera que ens recorden molt a una funció sinusoïdal. Aquest tipus de funcions són periòdiques, fitades i contínues, i el seu domini de definició és el conjunt de tots els nombres reals.
Ens pot donar peu per tractar representacions de funcions sinusoïdals; o per proposar als alumnes el moviment d'un cos rodó (com el que apareix a la fotografia) per damunt d'una corba i intentar esbrinar la posició del cos a un altre posició de la trajectòria que defineix la corba, en aquest cas, la d'una funció sinusoïdal. Fins i tot, amb l'ús del geogebra podríem esbrinar quina es la funció que més s'aproximaria a la que es descriu a la façana.

(Article proposat des del Màster de Professorat de Secundària, UIB)

Per què els poals de fems són rodons?

Josep L. Pol i Llompart — 2013-01-03T12:50:54Z

Recuper aquesta foto, on dues ajudants sol·lícites s'esforcen en facilitar al màxim la introducció de les fulles seques del corral de casa dintre la bossa. Encara eren massa joves per saber que la màxima superfície d'un quadrilàter s'obté amb el quadrat corresponent. Però segur que la intuïció les allunyava dels rectangles massa allargats. De fet és un exemple preciós de càlcul d'àrea per a un perímetre constant.

A batxillerat, aquest és un clàssic en l'aplicació de les derivades per als càlculs de màxims. Però una altra manera elegant d'enfocar el problema es pot pensar a partir de la fórmula de suma per diferència, com de fet ja ho férem en una altra mirada. En haver de multiplicar els dos costats d'un rectangle per saber la seva àrea, sempre es podrà millorar la superfície en una quantitat igual a la distància que separa cada un dels dos costats de la seva mitjana, al quadrat. Això és el que ens diu la suma per diferència, no?

Clar que si tinguéssim més mans, podríem canviar el polígon i millorar-lo encara més en superfície útil. Serà per això que els poals de fems són rodons?

Anar-se'n per la tangent

Josep L. Pol i Llompart — 2012-07-15T08:42:28Z

Segons l'Alcover-Moll (Diccionari Català-Valencià-Balear), anar-se'n o fugir per la tangent és escapolir-se amb un subterfugi. Poc més o menys el que recull després el Diccionari de la Llengua Catalana en la segona edició (DIEC2): escapolir-se amb alguna excusa o subterfugi. No és la meva intenció.

Quan vaig fer aquesta foto d'un dels cables que sostenen la catenària del tren d'Inca, només hi veia una línia recta sobre l'infinit del cel (amb permís de la teranyina de niguls).

Ara, a la pantalla de l'ordinador me n'adon que el cable està format per una caterva de fils que, a la projecció fotogràfica, prenen la forma d'un 2 més o manco estilitzat. Talment com la representació de la funció tangent, si acostàssim cada una de les branques en forma de dos que presenta cada volta de pi fins a superposar les asímptotes verticals, desplaçant sobre elles la branca un increment de y igual a la gruixa del traç. Una cosa així:

Clar que si parlam de projeccions planes de les helicoides que descriuen els fils prims del cable, sabem que el seu dibuix -tot i que pot recordar les branques de tangent- el que descriu és exactament la funció sinusoidal.

Millor, no? Potser sí, que me n'havia anat per la tangent...

La llum de Poisson

Josep L. Pol i Llompart — 2012-07-01T02:46:16Z

Quan un feix de llum incideix sobre un forat, si aquest és prou petit en relació a la distància en què es projecta aquell, la geometria de la projecció és un cercle, o en el cas d'una superfície no perpendicular al feix, lògicament, una el·lipse.

Això és exactament el que passa amb la llum que ha travessat el forat de la clau d'aquesta porta. Si posàssim la mà, o un paper a prop de la porta, retrobaríem el perfil del pany. Però lluny... una el·lipse gairebé perfecte. L'explicació de tot plegat la va avançar Christian Huygens (1629-1695) en formular el seu principi. Qualsevol punt que rep un front d'ones, es converteix en un emissor secundari d'un nou front. La naturalesa ondulatòria de la llum (recordau la disputa amb els Newtonians que trobaven que era corpuscular, la cara i la creu d'una mateixa moneda) fa que a les voreres del forat s'hi produeixin efectes de difracció que porten a la circular conseqüència.

Aquesta és, per exemple, l'explicació de les ones circulars que reprodueix na Foradada (que fa de vorera d'un forat, bon exemple!) en el front d'ones gairebé paral·leles que li arriben de lluny, des de la dreta.

Doncs intentant explicar més a fons tot això, Agustin Jean Fresnel (1788-1827) coetani per tant de Beethoven, presentà un informe davant un tern d'asos: Laplace, Poisson i Biot.

En analitzar-lo, Poisson dugué els postulats teòrics que predicava el model de Fresnel a les últimes conseqüències i deduí, matemàticament, que l'ombra d'un punt opac havia de ser precisament un punt lluminós rere seu! El tribunal, encoratjat pel president de l'Acadèmia, François Arago, muntà l'experiment per comprovar aquest fet insòlit i comprovà, efectivament, que així succeïa. Una vegada més, les matemàtiques s'havien avançat a l'experiència. (Podeu llegir més sobre aquesta història en el blog de Fernando del Álamo, Historias de la Ciencia.)

París, bressol de la matemàtica i la ciència moderna, dedica els millors monuments als seus científics. La República Bananera on ens ha tocat viure manté secretàries d'Estat de Recerca (Carmen Vela) que no s'estan de dir que a Espanya hi ha massa investigadors (Diari ARA, 1-7-2012, pàg. 29).

Barrow a l'entrellum

Josep L. Pol i Llompart — 2012-06-24T11:29:54Z

Donada una funció natural, que podem acceptar com a relativament contínua en l'interval de visió cap a ponent, tal com el perfil de les muntanyes de vorera de mar a Estellencs i donat també un eix paral·lel a l'entrellum marí, la barana de l'Hotel Maristel ens ajuda a calcular, tal i com ho feia Barrow, mestre de l'altre Isaac, Newton, l'àrea compresa entre la corba i l'eix horitzontal.

Els increments marcats pels barrerons ens permeten veure la llum d'una integral que, duts al límit, haurem de convertir en diferencials. Llavors, tot s'haurà fet fosc.

Un collaret per a la mar

Josep L. Pol i Llompart — 2012-06-10T09:32:11Z

Cala Deià

Moltes vegades havia pensat, per la pròpia definició i el mot en si mateix, que no era possible trobar catenàries naturals en disposició horitzontal. La catenària és una corba encisadora de la que ja n'hem parlat en algunes ocasions com amb les perles de rosada sobre els fils d'una teranyina o amb les garlandes lluminoses de Nadal.

La gravetat és, gairebé sempre, la responsable de la corba que va descriure Johann Bernoulli i que va associar per primera vegada a la funció exponencial. Una cadena que penja estable sobre dos punts fixos entre els quals hi actua un camp constant de forces paral·leles anomenat gravetat.

Però en aquest cas, l'embat de migdia ha volgut regalar a l'atzur de la cala aquest collaret de boies, tot marcant un petit corrent superficial, que suposam constant en aquest entorn, i que actua sobre les més petites enfilades a la corda que n'uneix les dels extrems, més grans i ancorades al fons.

La papallona de Fay

Josep L. Pol i Llompart — 2012-01-02T00:10:00Z

Acabava l'any i el ritual de festa exigia serpentines, màscares, barrets, espanta-sogres... bé, això que en diuen cotilló. Davant meu, na Pilar llueix una magnífica papallona de Fay, talment un ornament del temps del xarleston.

Vaig saber de la corba papallona per primera vegada al cartell que elaboraren els companys del País Valencià en ocasió de la II Trobada de Societats Matemàtiques de parla catalana.

Molt poc després, la vaig retrobar al llibre de Pickover "El libro de las matemáticas" editat per Librero. En ell explica que aquests tipus de corbes foren desenvolupades per Temple H. Fay quan era a la Universitat de Southern Mississippi. Des de que fou presentada el 1989 fascinà molts estudiants que n'han continuat elaborant multitud de variacions. Les seves equacions es poden expressar en forma paramètrica com:

Anàlisi nadalenca

Josep L. Pol i Llompart — 2011-01-03T00:57:00Z

Plaça de les Tortugues, Palma

Si és temps de Nadal i som a la plaça de les tortugues de Palma, podem dir que catenàries i paràboles llueixen amb llum pròpia. (Anomenam catenària a la forma que adopta una corda o cadena quan penja lliurament dels seus dos extrems i, paràbola, la forma que adopta un doll d'aigua llançat de forma inclinada.) Però no sempre ha estat així.

Galileu, que molt de tant en tant també s'equivocava, va creure (després de demostrar que el llançament d'un projectil era, efectivament, una paràbola) que la corba que descrivia una cadena (catena) en penjar lliurament pels seus dos extrems era també una funció polinòmica de segon grau, és a dir, la paràbola.

Però fou Huygens, que el 1673 publicà el famós Horologium oscillatorium, qui demostrà que la catenària no era una paràbola o, encara més, que ni tan sols era una corba algebraica.

Poc després, el 1690, Jakob Bernoulli en les seves no menys famoses Acta Eruditorum, llançava el repte (entre molts d'altres) de trobar l'equació que descrivia la rebel catenària.

La resposta arribaria del seu propi germà Johann, del mateix Huygens i de Leibniz, que, una vegada establert el càlcul integral, tancarien la qüestió dotant la catenària d'una funció en cosinus hiperbòlic. Restava encara per descobrir la funció exponencial.

Els ponts penjants tornarien agermanar les dues corbes ja què la catenària torna paràbola si d'ella hi penjam algun objecte que tengui densitat de pes horitzontal constant. És a dir, quan el pes de la cadena és insignificant respecte d'una línia horitzontal prou feixuga que sustenta, la forma de la catenària es modifica per tornar paràbola.

Una funció esmorteïda

Josep L. Pol i Llompart — 2010-01-27T14:03:50Z

Quan un cercle o cilindre roda sobre un pla, quina és la distància que separarà dos contactes consecutius entre el terra i un punt concret del perímetre d'aquest cilindre? Una manera de fer-ho seria midar-ho directament sobre aquella superfície fent una marca (petita taca) de tinta en un punt del perímetre del cilindre de manera que, en fer-lo rodar, deixàs dues marques (taques petites) sobre la superfície esmentada.

Això és el que ha passat amb les rodes d'aquest cotxe (i alguns anteriors) sobre l'asfalt. Potser les marques deixades aquí són més grolleres, però palesen allò més important: no hi ha mesures exactes sinó més o menys precises. Com podríem minimitzar l'error en la mida? Doncs simplement, en comptes d'intentar cercar el punt mitjà de dues taques consecutives (i aquí tendríem un àmbit preciós per a treballar l'estadística) ho podríem fer midant la distància entre dues taques llunyanes i dividint pel nombre d'intervals presos.

A més, el gràfic de la superfície de cada taca en funció de la distància al bassiot original ens presenta una preciosa i evocadora funció esmorteïda.

Descartes fa 300 milions d'anys

Josep L. Pol i Llompart — 2009-10-11T14:36:33Z

S'Hort de sa Cova, Valldemossa

A la costa valldemossina, prop del redol conegut com a s'Hort de sa Cova, hi ha un petit aflorament de roca paleozoica, la més antiga que es coneix a Mallorca. Els manuals de geologia ens diuen que es tracta de pelites grises, materials de l'edat Carbonífera, d'uns 300 milions d'anys d'antiguitat, descobertes el 1985.

A la singularitat pètria hi podem afegir aquest gràfic cartesià gairebé perfecte. Qui dels que ens dedicam a l'ensenyament de les matemàtiques pot deixar de pensar, amb aquesta visió, amb dos sistemes de funcions polinòmiques paral·leles, i amb totes les possibilitats de punts de tall? Paràboles amb cap, un i dos punts de tall amb les rectes corresponents.

Serà veritat allò que deia Hardy que quan ens meravellam -o ens vanagloriam- d'allò que podem fer en matemàtiques, en realitat només són els apunts d'un quadern de camp, la descripció d'allò que existeix a la natura... en aquest cas fa almanco 300 milions d'anys?