SBM-XEIX

Conillons amagats en el geoplà

Josep L. Pol i Llompart — 2014-04-06T13:54:57Z

Vinya nova a Santa Maria

Jugar a conillons amagats és un dels clàssics dels jocs d'infants a tot arreu (encara que actualment la gent s'entesti a dir-li pilla-pilla).

Una versió prou original seria aquella de col·locar qui ho duu a l'origen de coordenades en una vinya on tots els punts de coordenades enteres estan ocupats per un pal. La pregunta és: quins són els pals que veu i quins estaran tapats per a l'observador original?

Si hi jugam una mica, podem prendre el Geogebra i pintar de vermell els punts que quedarien ocults per algun altre punt. D'aqueta manera s'aniran observant regularitats molt interessants. Per exemple: els punts de la recta y=1 (o igualment els de x=1) seran tots de color blau, mentre que els punts de la recta y=2 (o x=2) estaran alternats de color. Què passarà amb els punts de y=3? i y=n? Quina relació hi ha d'haver entre les coordenades d'un punt perquè sigui o no visible?

I encara podríem pensar si hi haurà alguna direcció en què la visual no toparà amb cap punt. (Una altra ocasió perfecte per parlar de proporcionalitat i de nombres irracionals.) De fet n'hi haurà infinites, tantes com nombres irracionals representin el pendent de la mirada de l'observador.

Aquestes idees magnífiques de poder relacionar una graella entera amb fraccions irreductibles, nombres irracionals i altres conceptes, les podeu trobar al llibre de Tony Crilly 50 cosas que hay que saber sobre Matemáticas de l'editorial Ariel.

En Pere Calafat, del celler santamarier Jaume de Puntiró, ens explica que les diagonals de ceps alineats, tan visibles quan un passa amb la bicicleta o amb el cotxe vora una vinya, tenen nom propi. Una descoberta que li agraïm de tot cor. Així, els eixos de la graella s'anomenen tires (tira de per llarg i tira de per curt si la quadrícula és rectangular no quadrada). La diagonal principal s'anomena llobina. Entre la tira i la llobina, hi veurem el llobinó. I entre la tira i el llobinó el contrallobinó. Vertadera cultura matemàtica popular!

La grandesa de ser un nombre

Jaume Vicens Obrador — 2013-02-10T13:33:33Z

Una de les primeres coses que aprenem en la vida són els nombres. A partir d'aquest moment, aquests ja ens acompanyaran el resta de la nostra vida.
Es ben sabut que existeixen infinits nombres, que mai ens podríem aturar de contar, però realment tots els nombres que existeixen son combinació dels deu que s'aprecien en la imatge.
Es tal la seva importància en la nostra cultura que s'ha fet una classificació dels distints nombres que existeixen: reals, irracionals, naturals, enters, fraccionaris, etc
La grandesa que resideix en ells és tal, que avui en dia la nostra societat no podria viure sense els nombres.

(Article proposat des del Màster de Professorat de Secundària, UIB)

50 anys i 1 dia

Josep L. Pol i Llompart — 2012-12-08T13:38:16Z

Ahir, dia 7 de desembre de 2012, es complien cinquanta anys de la impressió en primera edició del darrer volum, el desè, del Diccionari Català Valencià Balear. Obra magna de la qual ja en vaig parlar en la primera mirada d'enguany. Sempre és poc el reconeixement a la tasca dels filòlegs il·lustres Antoni Maria Alcover i Francesc de Borja Moll. Vagi per endavant la meva veneració.

Els diccionaris són una font de coneixement matemàtic inestimable. I no m'estic referint a les definicions de conceptes matemàtics, que són per regla general magretes, sinó a tot allò que les paraules i els seus origens ens expliquen. Per ells -els diccionaris- sabem que hi ha llengües en què el cinc comparteix habitacle lingüístic amb la paraula mà o que en basc, vuitanta és el mateix que quatre vints (igual que en francès), la qual cosa ens informa de l'existència d'un primitiu sistema vigesimal en aquestes geografies.

Però al cap i a la fi, qualsevol nombre es basa en l'acumulació d'unitats i així ho expressen la majoria de diccionaris. Al DCVB i al DIEC2, el nombre dos es defineix com un més un, el nombre tres com dos més un, etc. Aquest sistema de definició segueix fil per randa l'afirmació de Schopenhauer quan diu que tot nombre enter natural pressuposa els precedents com a causa de la seva existència. El problema, lògicament, el tendrem a l'hora de definir l'u. I en aquest cas, la majoria de diccionaris fan ús de la referència mútua, dient que l'u és allò del que els demés nombres en són agregats. I ben pensat, així és com es pogué arribar històricament al concepte de nombre. No té sentit el concepte d'unitat sense la repetició, sense la multitud.

332211

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-04T10:25:57Z

La carretera de Manacor a la Colònia de Sant Pere ens presenta aquest punt quilomètric. Quina propietat pot tenir el nombre format pel codi de la carretera i els quilòmetres recorreguts? Dit d'una altra manera, podem establir un patró aritmètic comú per tots aquells nombres que presenten les seves xifres repetides per parelles (com per exemple 33558877)? És bonic pensar que la clau està precisament en el valor més simple possible, és a dir, en el nombre que només presenta una repetició i amb la xifra més baixa: l'11. Una simple aplicació de la propietat distributiva ens dona la clau:

Podem descomposar 332211 com a suma de 30201 i 302010. Si 030201 = n, llavors 302010 = 10 n i, per tant, 332211 = 11n. És a dir, que 332211 = 11 x 30201

La fita quilomètrica ens dóna doncs la resposta: aquests nombres seran divisibles sempre per 11.

En arribar a la Colònia de Sant Pere, sembla com si aquest cotxe ens estàs esperant.

Corvus sp

Josep L. Pol i Llompart — 2009-08-02T00:55:00Z

Pantà de Pitlochry, Escòcia

Pel que diu Georges Ifrah al seu magnífic llibre Historia universal de las cifras (Ed. Espasa), hi ha ocells que sense aprenentatge previ són capaços de reconèixer i recordar quantitats concretes de fins a quatre. És el cas de corbs i gralles, passeriformes del gènere Corvus.

Sembla que un home volia matar un corb que havia fet el niu a la torre d'un castell. Cada vegada que aquell entrava en la torre, el corb partia a volar i no tornava fins que el veia sortir altre cop. Doncs per enganar l'animal, entraren a la torre dos homes, però només en sortí un. L'animal de ploma negra esperà que sortís el segon per tornar al niu. Repetida l'estratègia amb tres, el fracàs fou idèntic. L'animal era capaç de captar i recordar aquesta quantitat (i per tant, de fer-ne la suma per unitats). La història diu que amb quatre o cinc, l'animal perdé el compte... i el cap.

Una mirada per a cada peix

Daniel Ruiz, Josep L. Pol i Llompart, Maria Triay — 2009-08-01T01:25:00Z

Capella del Santíssim, la Seu de Mallorca

Quan l'anterior bisbe de la Seu de Mallorca, Teodor Úbeda, encarregà a l'artista felanitxer el retaule de la capella del Santíssim, especificà que s'hi havia de recrear el miracle de la multiplicació (dels pans i dels peixos, ja està clar).

Però és en un altre lloc dels evangelis cristians, concretament en el de Sant Joan (21,11) on es refereix que els apòstols, per indicació de Jesucrist, pescaren cent cinquanta-tres peixos. Que té aquest nombre d'especial que meresqui ser recordat? Aprofitarem doncs que aquesta és la mirada 153 per parlar-ne una mica.

En primer lloc es tracta d'un nombre triangular. Això vol dir que es pot expressar com la suma d'un grapat de nombres naturals consecutius començant per u. Concretament

En general s'accepta que als nombres triangulars se'ls atribueix un significat diví (ja sabem per un altre article que 666 també ho és).

En segon lloc és un nombre narcisista. És a dir, es pot expressar com la suma de cada una de les seves xifres elevades al nombre de xifres que té. En concret estam dient que

Resulta però que també és un nombre hexagonal. És a dir, que si anem construint hexàgons cada vegada més grans un dins l'altre, compartint des del primer amb sis punts, un vèrtex i els dos costats que el contenen, amb vuit hexàgons tindrem 153 punts.

El 153 té, també, la curiosa propietat de ser la suma dels cinc primers factorials. És a dir:

Però també és un nombre de Friedman, forma un parell de Ruth Aaron amb el 154, és un nombre de Harshad...

Pura casualitat?

Triàngels contra quadracs

Josep L. Pol i Llompart — 2007-12-12T00:00:00Z

Catedral de Sant Pere, Bremen

A Miquel Desclot.

A la catedral de Bremen trobam aquest plafó numèric que suposadament deu correspondre a les referències de capítol i versicles d'algun llibre religiós com podrien ser salms o cantorals. Si ens entretenim a mirar els seus nombres, veurem com dels onze que hi ha, deu són imparells mentre que l'únic parell explícit, el setze, és un quadrat perfecte. Si fem la suma indicada com a 1 + 3 + 5, obtindrem el resultat de 9, un altre quadrat perfecte. 179, per contra, és un nombre primer. De fet, ho són tots els del plafó excepte, lògicament, el setze i l'u. Hi ha alguna regla que relacioni tot això? Doncs allò que la suma dels n-primers nombres senars consecutius és sempre el quadrat d'n. La demostració algebraica és molt senzilla i només requereix la fórmula per a la suma d'una progressió aritmètica, of course. Però també és interessant trobar una demostració visual pensant amb els nombres triangulars (que tan bé s'escauen a una església pel fet de ser considerats divins).

Això em duu a recordar la Batalla espacial de Miquel Desclot (Barcelona 1952) que tinguérem el plaer d'escoltar en boca de Sebastià Riutort el dia de la vetlada de Poesia i Matemàtiques a la Fundació ACA. Un poema que parla de la lluita entre un àngel que tenia tres angles -i que per tant era un triàngel- i un drac que tenia quatre costats -i que per tant era un quadrac. En aquest cas, la geometria obra el miracle de la reconciliació.

Passejar pel Born

Josep L. Pol i Llompart — 2007-11-02T08:10:32Z

Passeig del Born, Ciutat de Mallorca

El Born, antic curs i desembocadura de la Riera fins el 1613, és un dels passejos clàssics de la gent de Ciutat. En ell s'hi donen cita edificis emblemàtics com el de Can Morell (Palau Solleric), bars de tota la vida com es Bosc, jardins frondosos i sorprenents com el de la plaça de la Reina o escultures llegendàries com les quatre esfinxs (més conegudes com a les lleones des Born).

L'aspecte actual és fruit d'una profunda reforma realitzada el 1833 i el seu paviment, com és natural, ha sofert al llarg dels anys diverses reformes. El que veieu a la fotografia és l'actual, fruit del darrer canvi efectuat el 2006. La rajola utilitzada és un romboide. La gràcia d'aquest trespol és que la combinació de tons aconsegueix anar formant rombes. Una aplicació ben senzilla d'allò del comú múltiple entre les mesures dels dos costats però, el mínim?

El paviment anterior tenia la singularitat de ser una reproducció de la rajola hexagonal de Gaudí que actualment entapissa el passeig de Gràcia de Barcelona. La curiositat (o malifeta matemàtica) de l'encàrrec, és que el paviment en qüestió perdia la gràcia d'aconseguir els tres motius amb un sol motlle, tal i com ho dissenyà Antoni Gaudí, originàriament per a la casa Batlló però que fou col·locat finalment a la Pedrera i d'on, posteriorment i en diverses reedicions, fou extés a les voreres del passeig de Gràcia.

La nostra Societat en recuperà un joc per a un futur museu de les matemàtiques abans no fossin destruïdes en el canvi d'enrajolat. També hem aclarit, gràcies a l'amabilitat de l'arquitecte Enric Pericàs, que tots aquests models han sortit de la fàbrica catalana Escofet, fundada el 1886, i que en feu la primera tirada l'any 1904. A més, la casa ha tingut l'ambabilitat de regalar-nos un joc de peces hexagonals autèntiques de les que es col•loquen al passeig de Gràcia. Ben agraïts (i agraciats!).

(L'enrajolat actual al passeig de Gràcia de Barcelona)

Sis del sis del sis

Josep L. Pol i Llompart — 2006-06-06T00:00:00Z


Sis del sis del sis

Dimonis de Sant Joan a Dalt Vila, Eivissa

Sis del sis del sis. Un company em diu: ei! demà és el dia del dimoni. I en efecte, la bíblia diu que el 666 és el nombre de la bèstia. En concret, aquesta identificació es troba al llibre de l'Apocalipsi. Sembla que la càbala assigna aquest nombre sumant els valors corresponents de cada lletra de la paraula dimoni en hebreu. És curiós (casualitat?) que 666 sigui un nombre triangular, és a dir, que es pot expressar com la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 35 + 36. Això reforçaria la idea d'un origen divi per a Lucifer (el triangle és el "logo" de Déu). Però és que, a més, sis és el primer nombre perfecte: la suma dels seus divisors sense ell, dóna ell mateix. Perfecte, doncs, tres vegades. (Cal dir que el sistema numèric hebraic és també decimal)

No sabem si serà per això que alguns dimonis de la colla de Sant Joan (un topònim que refereix precisament el nom del cronista de l'Apocalipsi) branden al braç dret fórmules i símbols matemàtics com equacions, integrals, diferencials, etc.

Aromes muntanyenques

Josep L. Pol i Llompart — 2006-05-23T08:00:00Z


Aromes muntanyenques


Aromes muntanyenques

La camamilla de muntanya o de Maó (Santolina chamaecyparissus var. magonica) és una planta endèmica (només creix a les Balears), petita, intensament aromàtica i de flors ben grogues que tapissen motes arrodonides, olioses, d'un verd oliverenc. Fa l'esplet devers el juny i és molt bona en infusions. És abundant tant a Mallorca com a Menorca, tot i que també es troba a Eivissa (on hi creix, a més, la varietat vedranensis). Potser el millor per olorar el seu perfum és passejar per la costa d'Artà a ple sol o deixar-se perdre pels costers del puig Major un vespre de lluna. I... sí, també d'aquí en podem treure matemàtiques. Fixau-vos en l'estrella central de flors que encara no s'han badat. Cada puntet groc, que serà una flor, està ordenat segons unes línies espirals. Si comptem les que volten en sentit anti-horari, tretze; en sentit horari, vint-i-una. És a dir, Fibonacci! I, a més, no us recorda alguna cosa el disseny d'aquesta flor? Efectivament! El logo del pròxim congrés de l'ICM Madrid 2006. Trobo estrany que tractant-se de matemàtiques, els responsables del logo hagin escollit una “estrella” de 13+13, quan la natura tria sempre dos termes consecutius. Clar que és més fàcil dibuixar-la així. Per si de cas, les inicials del títol d'aquest article ocupen posicions de Fibonacci dins l'alfabet. També n'hi ha, com Bach, que totes les seves lletres són de la successió. No és estrany que el mestre de Leipzig sigui considerat auri...