SBM-XEIX

Arbres proporcionats

Josep L. Pol i Llompart — 2014-04-01T07:29:36Z

Hi ha arbres que segueixen models geomètrics senzills, com és el cas d'aquests arbres de pisos (Araucaria sp.) en què fàcilment els podem adaptar un model cònic, que en la projecció plana de la fotografia podríem anomenar triangular. És així que el traç de les seves branques respecte del tronc principal resulta un símil directe amb el teorema de Tales. És a dir, dins un marges raonables, la raó entre la longitud d'una branca i la longitud de l'eix central des del naixement de la branca fins al cim, és més o menys constant.

Per tant, aquesta constant de proporcionalitat serà, per a cada arbre, la que ens dirà quina és la relació de creixement de les branques respecte de l'eix central. En el nostre cas, és evident que la constant és inferior a 1 i per tant, les branques tenen un creixement més lent que el tronc principal.

Però és que fins i tot, les petites branques de cada branca, tornen presentar un creixement prou proporcional respecte del seu eix secundari, cosa que ens duu a pensar en un model fractal de creixement.

El arbres de creixement cònic, solen estar associats curiosament a moltes espècies de coníferes, que es diuen així no perquè la seva capçada presenti aquesta forma, sinó per la dels seus fruits, és a dir, les pinyes. És el cas de algunes espècies de xiprers, cedres, avets... o fins i tot pins com el de canàries.

Xiprer de capçada cònica

Fractals marins

Josep L. Pol i Llompart — 2012-09-10T14:18:00Z

Un dia de navegació en calma per la mar del nord de Mallorca ens pot deixar imatges tan evocadores com aquesta. Es tracta del reflex dels penya-segats de Can Canten i Dormen, a la costa pollencina.

En realitat és un tema de fronteres. Com els fractals funcionals: quan la iteració d'un valor i els seus resultats tendeixen a zero, el pintam de negre, quan tendeixen a infinit, de blanc. Aquí la mar dibuixa unes sinusoides tan suaus, que es perfilen molt bé les fronteres. Quan l'angle de visió respecte de la perpendicular en cada punt és inferior a un el pintam de blau. Per damunt, de roca calcària.

Aigua fracturada

Josep L. Pol i Llompart — 2012-06-12T00:46:00Z

És conegut que el neologisme fractal fou introduït per Benoît Mandelbrot a partir del llati fractus, fragmentat. La posició de macro per a una càmera relativament senzilla ens revela aquesta espectacular geometria fractal per a l'humitat condensada sobre les parets d'una copa d'aigua freda. Ho va dir el mateix Mandelbrot:

Les formes de la natura són fractals i múltiples processos d'aquesta es regeixen per comportaments fractals.

Elogi a Mandelbrot

Daniel Ruiz — 2009-09-27T12:34:26Z

Forn de ca na Juanita, Alaró

La teoria fractal de Benoît Mandelbrot (Varsòvia, 1924) fa veure tothom, com ell mateix ha afirmat, “el mateix món vell d'una forma diferent”.

Què haurien vist Euclides, Gauss o fins i tot Newton en les taques d'aquestes fulles? Com les haurien descrit? Molt possiblement haurien vist formes i corbes irregulars, potser haurien descrit la forma de cor que fa (a primera vista) la silueta,... Sempre seguint uns patrons dins la geometria clàssica.

D'ençà que Mandelbrot edificà la seva teoria de la geometria fractal, gairebé la totalitat dels que n'han sentit parlar haurien contestat que els dibuixos són molt semblants al conjunt de Mandelbrot (podeu veure la imatge adjunta) o si més no, els patrons que se segueixen es poden descriure mitjançant aquesta nova teoria.

S'ha d'elogiar Mandelbrot no només per elaborar la teoria fractal, sinó pels esforços en la divulgació de les seves idees, cosa que ha propiciat l'aplicació de la geometria fractal en camps tan diversos com: la telefonia mòbil, l'animació per ordinador, la generació d'art fractal, la compressió d'imatges, la classificació d'imatges histològiques i un llarg etcètera.

Ara els estranys dibuixos d'unes simples fulles poden tenir una explicació i se'n poden reproduir de semblants. I també els arbres, els llamps, els rius, el nostre sistema nerviós... Ja es pot explicar quines formes segueixen d'una manera unificada.

Una nova visió que ens ajuda a comprendre i admirar el món. Gràcies, Mandelbrot.

Fractus

Josep L. Pol i Llompart — 2006-10-21T23:14:25Z


Fractus

Es Guix, Escorca

La naturalesa ha estat -des de sempre- font d'inspiració per a totes les branques del saber humà i les matemàtiques no en són una excepció. Aïllat de la soca, el cimal d'un pi reprodueix en si mateix l'estructura completa de l'arbre. I és aquesta mateixa estructura la que tornarem a trobar íntegra en cada una de les branques del cimal. Aquest fet duit a l'infinit, produeix objectes matemàtics en els quals “el tot” està contingut en les parts. Aquesta bella metonímia matemàtica pot ser una plataforma senzilla per abordar un complex grup de geometries conegudes avui dia com a fractals. Del llatí fractus, bocí, aquest és el terme emprat per descriure els objectes matemàtics infinitament fragmentats. Fa ben poc, tinguérem a Mallorca el privilegi d'escoltar un dels cappares i pioners, Benoît Mandelbrot (Varsovia, 1924), tot i que el naixement d'aquesta nova geometria es remunta a principis del segle XX amb treballs com els del teutó Cantor o el suec Koch. En l'actualitat, no es pot concebre la geometria fractal deslligada de les eines informàtiques. També és habitual associar els conceptes de fractal i caos per allò que tenen -per se- d'inabastables. Però tal com diu l'il·lustre metereòleg Miquel Ballester, el caos, lluny d'ésser el dimoni, és profundament humà.

Sabó de vidriers

Josep L. Pol i Llompart — 2006-08-19T08:00:00Z


Sabó de vidriers

Camí des Binis, Escorca

Deia Lobacevskij (1793-1856) que no hi ha cap branca de la matemàtica, per més abstracta que sigui, que no es pugui aplicar algun dia als fenòmens del món real. Anys més tard, afirmava Mandelbrot (1924-) que les formes de la natura són fractals i múltiples processos d'aquesta es regeixen per comportaments fractals. La fotografia d'aquesta pedra trobada al vessant nord del puig Major ens recorda tot d'una el fractal de Barnsley i sembla com si la fulla de falguera hagués quedat immortalitzada per sempre més. Però resulta que els geòlegs ens diuen que l'origen d'aquesta forma no és vegetal sinó mineral. En efecte, es tracta d'una dendrita (del gr. dendron: arbre) d'òxid de manganès coneguda com a pirolusita o sabó de vidrier, un mineral que cristal·litza en el sistema tetragonal i que constitueix la mena més important d'aquest metall. Ara resulta que fins i tot els minerals s'apunten a la geometria fractal!

Fractals mòbils

Daniel Ruiz — 2006-01-31T08:00:00Z


Fractals mòbils

Lórien, Palma

Què hi ha al darrere aquests aparells que tant ens han canviat la vida, i les relacions socials?

Les matemàtiques: per poder construir el sistema operatiu de l'aparell, per poder enviar els senyals amb claretat, per poder rebre els senyals sense interferències, per enviar missatges de texte...

El darrer boom en telefonia mòbil són els fractals, que han servit per poder fer antenes més eficients:

En aquest article
s'explica com les matemàtiques fractals són essencials per desenvolupar cada vegada més aquesta tecnologia que no se sap on arribarà...

Qui va dir que les matemàtiques no serveixen per res?