SBM-XEIX

El sant Greal

Josep L. Pol i Llompart — 2012-06-06T13:55:09Z

La darrera entrega de Cristobal Vila, Inspirations, és un homenatge a Escher i, en general, a la relació entre les matemàtiques i l'art. Un dels dibuixos que hi surten, és l'estudi per a un calze de Paolo Ucello (c. 1450).

Ben Jakober és un artista afincat a Mallorca que té vertadera veneració pel Renaixement. De fet, ja dedicàrem una altra mirada a la rosassa de l'església de Puigpunyent.

Del calze esmentat, en feu una reproducció a gran escala vers els anys 90 que fou instal·lada en un dels espais que queden entre l'autopista d'Andratx i l'enllaç a la via de cintura, prop de Génova.

Escher versus Penroses

Josep L. Pol i Llompart — 2011-08-28T10:03:23Z

Avinguda Joan March, Palma

Una secció com la de cultivar la mirada matemàtica és especialment adient per treure a la llum obra gràfica d'artistes que treballen de facto amb les matemàtiques. No és la primera vegada que el genial M. C. Escher ocupa els nostres articles (Tres mons, Tres mons II). El disseny d'aquesta escala d'una finca a l'avinguda Joan March de Ciutat ens empeny gairebé de manera inevitable a pensar en algun gravat com Relativitat (1953).

Roger Penrose reconeix en una carta que la visió dels gravats de l'holandès (exposats en el congrés internacional de matemàtiques d'Amsterdam de 1954) l'estimulà a cercar plantejaments geomètrics impossibles. Ell i el seu pare Lionel publicaren el primer article sobre escales contínues en el British Journal de psicologia.

De la mateixa manera, l'article dels Penroses estimulà Escher a crear els primers gravats d'escales contínues com Escales amunt i escales avall, litografia de 1960. Matemàtiques a partir d'art i art a partir de matemàtiques.

Penrose a Santa Maria de Maó

Daniel Ruiz, Josep L. Pol i Llompart — 2010-11-23T03:02:34Z

Església de Santa Maria, Maó, Menorca

Rombes per tot arreu. Estrelles de cinc puntes que apareixen, desapareixen i tornen aparèixer, però mai envoltades per la mateixa situació. Aquest és el nou trespol que els arquitectes responsables de la reforma de Santa Maria de Maó han escollit per a un temple que alberga un dels millors orgues històrics de les Illes Balears. El seu rector, mossèn Josep Manguán, ens explicà que la idea d'aquesta tessel·lació és la de fer una al·legoria de la globalització. Dues peces iguals per tot arreu, però cadascuna en una situació particular única i irrepetible.

Es tracta d'un dels enrajolats dissenyats per Roger Penrose. Format per dues peces elementals ben senzilles, dos rombes, un de gruixat i un de prim, la principal característica d'aquesta combinació és la seva aperiodicitat. En efecte, la gràcia d'aquesta combinació rau en què té un eix de simetria i un eix de rotació d'ordre cinc però no es pot generar per repetició de cap cel·la base. Per això s'anomena quasicristall.

El fet és que amb aquests dos rombes es poden construir tesel·lacions periòdiques senzilles, però per construir el de Penrose, a cada un dels costats d'aquests dos rombes es marca una orientació de manera que quan s'ajuntin dos d'ells aquestes orientacions coincideixin. Seguint un procés minuciós es podrà obtenir una tesel·lació completa del pla de forma aperiòdica.

Per a una manipulació virtual d'aquestes tesel·lacions es pot visitar l'applet de David Austin. En aquest s'ha de marcar el costat al que es vol afegir un rombe, de manera que encaixi en la orientació adequada. Una altra manipulació és al New P3 de l'applet de Craig S. Kaplan.

A partir d'ara haurem d'afegir la visita a aquesta església dins les guies turístiques matemàtiques. Una vertadera novetat aperiòdica dins un món periòdic...

(En la fotografia, s'ha modificat la intensitat de color dels rombes per distingir-los més fàcilment. A la realitat, totes les peces estan elaborades amb marbre blanc Macael de les pedreres d'aquest poble d'Almeria)

El (nombre) Pi més primaveral

Pilar Oliva — 2010-06-05T00:00:00Z

http://xeix.org/IMG/jpg_pi_primaver...
Dins el marc de l'exposició Fotomàtica que cada any convoca l'Institut Joan M. Thomàs, la nostra companya Henar Jiménez amb col·laboració amb Marion Dörr han presentat fora de concurs aquesta fotografia. Està acompanyada pel poema següent
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros
El nombre de lletres de cada paraula coincideix amb els 20 primers dígits del nombre (...)

- Cultivar la mirada matemàtica / Circumferència, Art, Nombres Irracionals

Una rotonda nuada

Josep L. Pol i Llompart — 2010-04-11T02:27:01Z

Els nusos són uns elements prou interessants on conflueixen la vida quotidiana (muntanya, marines, agricultura, art...), la recerca en àrees punteres (genètica, mecànica quàntica) i les matemàtiques. Sembla que el model de Lord Kelvin en què descrivia els àtoms com a petits tubs nuats entre si, portà Peter Tait, també escocès, a classificar "tots" els nusos possibles a finals del s. XIX.

Aquest, el de la classificació o, més ben dit encara, el de la caracterització dels nusos és un problema encara obert quan aquests són prou grans. Si tenim en compte que en la teoria matemàtica de nusos, una vegada fets aquests s'han de "soldar" o afegir els dos caps, podem parlar de nusos en funció del nombre de encreuaments que produeixen una vegada posats convenientment sobre un pla.

D'aquesta manera, el nus més simple possible, que en les arts pesqueres s'anomena pla, seria el que produeix només tres encreuaments com el que representa l'escultura de Ben Jakober i Yannick Vu a la rotonda del port d'Alcúdia (Nus de Leonardo, juliol de 1997). Aquest mateix nus és emprat amb certa freqüència en alguns logos empresarials.

Només existeix un nus de tres encreuaments, un de quatre, dos de cinc, tres de sis, 7 de set, 17 de vuit, 49 de nou, 249 de 10 i quasi dos milions de possibilitats quan només ens enfilam a 16 encreuaments.

Per a una primera aproximació rigorosa a aquest món apassionant, podeu accedir al treball de carrera que els companys de l'SBM-XEIX Toni Buades, Biel Frontera, Jaume Perelló i Dani Ruiz penjaren a Mallorcaweb fa alguns anys.

Rosassa cosmològica

Josep L. Pol i Llompart — 2007-08-15T01:37:23Z

Església de Puigpunyent

El 1445, l'italià de Siena Giovanni di Paolo pintava el quadre titulat la creació del món i l'expulsió del Paradís, que es conserva al Museu Metropolità d'Art de Nova York. El mateix any, per cert, que a Sansepolcro naixia Luca Pacioli. Idò aquesta pintura, serví d'inspiració a Ben Jakober, segons ens ha comentat ell mateix, a l'hora de reformar els vitralls de la petita església de Puigpunyent. D'entrada, crida l'atenció el fet que les diferents corones circulars que l'integren no siguin concèntriques. Un recurs artístic?

Cal dir, d'entrada, que l'original de Giovanni sí que té les corones concènctriques i, a més, en quantitat superior. En aquells moments, la concepció cosmològica de l'Univers feia la Terra centre de tot, segons les idees de Claudi Ptolemeu (s. I-II dC). És així que l'original té precisament la Terra ocupant el cercle central. No seria fins quasi cent anys després d'ésser pintat, l'any 1543, en què Andreas Osiander publicaria pòstumament la cèlebre obra de Nicolau Copèrnic de Revolutionibus Orbium Coelestium. És la revolució copernicana (que col·locava definitivament el Sol en el centre del nostre sistema) i que ja havia començat a ser divulgada un parell de dècades abans. Cinc anys després, el 1548 naixia Bruno. Giordano (que nasqué amb el nom de Filippo) generalitzà el model copernicà de manera que –postulava- si la potència divina és infinita, també ho ha de ser l'univers, compost per tant, per infinits sistemes planetaris. Si això és així –deia- qualsevol punt és el centre de l'univers. Quin problema hi ha, idò, en no centrar les corones de la rosassa? Giordano Bruno moria cremat per les seves idees al Campo dei Fiori de Roma l'any 1600. L'Església reconeixia només fa uns anys un error a la seva condemna.

Envasar un llenç

Josep L. Pol i Llompart — 2007-05-18T00:00:00Z

Polígon de Son Llaüt, Santa Maria

Posar vasa a un llenç és normalment una tasca complexa i delicada. L'altre dia, una bona amiga em va fer el present d'un oli pintat seu així és que vaig anar a un taller del que m'havien parlat bé. Quan vaig exposar el tipus de vasa que volia a la dona que em va atendre, aquesta em digué:

Això deu ser un F8. Em sembla que tenim bastanta cosa feta.

I efectivament, tot d'una posà mà a una vasa que, segons el meu parer, li escau com un guant. Mentre em preparaven el quadre, vaig demanar-li què era aquest codi que m'havia etzibat només arribar. I em va donar una targeta de la casa amb totes les mides estàndars dels llenços segons tres tipus: els de figura (F), els de paisatges (P) i els de marines (M).

Una vegada a casa, no me'n vaig saber estar de demanar-li al full de càlcul quina raó (amplada dividit per alçada) m'oferien totes aquelles dimensions dels F000, F00, F0, F1 F2... P00, P0, P1, P2... M0, M1, M2... i vaig obtenir el gràfic següent.

Sembla lògic que l'allargassat del format sigui més gran a la marina i més petit per als retrats. Aquest ordre és respectat en totes les grandàries. Ara bé, és curiós descobrir que en un mateix tipus, el format realment no es manté constant. Segurament és una qüestió de tradició, però, per què?

Tres mons II

Daniel Ruiz — 2007-04-25T09:00:00Z

Salt del Freu, Torrent de Coanegra, Orient

Reprenent una mirada matemàtica anterior, Tres mons, em va quedar un dubte. Al meu entendre, a la fotografia hi ha dos mons ben clars: la fulla, provinent de la natura, viva; i el terra, que prové d'allò geomètric i inert. Quin és el tercer món? Potser el món de les idees?

En un sentit platònic, tots els elements geomètrics que han servit i serveixen de models, només existeixen a la nostra ment. Existeix una circumferència? I un triangle equilàter? Algú ha vist mai un hexàgon? Es pot dibuixar realment una circumferència? I una recta? Del que sí que podem estar segurs és que tots aquests elements matemàtics existeixen, com a idea, a la nostra ment.

Escher, en el seu gravat de Tres mons, va fer una síntesi meravellosa de la divisió entre allò que és real i allò que només existeix a la nostra ment. Seguint el mite de la caverna, de Plató, hi ha tres mons ben diferenciats al gravat: el de la profunditat (l'empresonat a la caverna), el de la superfície (les ombres reflectides a la caverna), i el de l'exterior (la vertadera realitat):

Al món per davall de l'aigua el peix pareix estar pres. Per ell la realitat és ben certa: la toca, hi neda, hi viu. Però tot d'una mira a dalt, veu ombres del món exterior que li costen d'entendre.

Al món de la superfície de l'aigua es troben les fulles caigudes dels arbres. Aquest món de dues dimensions serveix de divisió dels altres dos. Pel peix, serveix de mirall per poder entreveure què pot ser el món exterior.

Al món exterior (que l'observador del quadre no veu realment però que imagina perfectament) hi ha tres arbres. Forma part de la realitat, tan certa com el món de la superfície, o el món de la profunditat de l'aigua.

Per tant, la matemàtica vendria a ser la superficie de l'aigua: una eina per connectar dos mons: el món real, en el que estem immersos, com el peix; i l'imaginari, el de les idees, i del qual només som capaços de percebre'n ombres a primera vista, i del que som incapaços d'entendre realment sense passar per la superfície, per les matemàtiques.

Només amb la matemàtica podrem arribar a aquest món, on les idees, conceptes, i formes es troben en estat pur.

Tres mons

Josep L. Pol i Llompart — 2007-03-24T01:14:33Z

Girona

Deia Escher: les meves idees estan basades en el meu astorament i admiració per les lleis contingudes en el món que ens envolta. Qui es meravella d'alguna cosa pren consciència d'alguna cosa meravellosa. En aquest mateix sentit, Einstein afirmava que l'alegria de mirar i comprendre és el do més bell de la naturalesa. I és que certament, gran part de la bellesa que irradien les matemàtiques rau en la seva capacitat per despullar la natura, en la seva capacitat per descriure-la només a partir d'allò més essencial i pur. Matemàtiques a partir de natura, des de sempre, però també natura a partir de matemàtiques. La fotografia em recorda el gravat dels tres mons d'Escher: arbres despullats que es reflecteixen sobre el mirall d'un llac, fulles que suren sobre aquestes branques virtuals i, a sota, un peix que s'ho mira. En el cas de la fotografia, una fulla sura també sobre la superfície enteixinada d'un enrajolat: matemàtiques que es mimetitzen amb la natura sota la llum d'un fanal prop de l'Onyar... i gent que, passant, s'ho mira. Heus ací el vell combat.

La geometria de la música

Josep L. Pol i Llompart — 2006-12-11T10:32:46Z

Catedral de Santiago de Compostela, Galícia

Quan Arquites de Tarent definí el quadrivium, posà –ben encertadament- la música en el mateix sac que l'aritmètica, la geometria i l'astronomia. Pitàgores ja estudià els intervals musicals i descobrí que aquests seguien proporcions senzilles de nombres enters. Així, la relació entre les freqüències d'un do i el següent do en l'escala musical és de 1/2 mentre que la relació entre un do i la nota sol és de 2/3. L'escala emprada actualment, dita temperada, divideix els dotze intervals o semitons d'una escala completa de tal manera que sempre, la relació de freqüències entre una nota i la immediatament anterior és de 2 elevat a 1/12. Una preciosa progressió geomètrica com la que ens recorden els tubs d'aquest magnífic orgue doble de la catedral de Santiago, tot i que només ho seria exactament si tots els tubs tinguessin el mateix diàmetre i el mateix gruix en la xapa de plom. Ja ho deia el filòsof G. Santayana (1863-1952): si totes les arts aspiren a ser com la música, totes les ciències aspiren a ser com les matemàtiques.