SBM-XEIX

Per què els poals de fems són rodons?

Josep L. Pol i Llompart — 2013-01-03T12:50:54Z

Recuper aquesta foto, on dues ajudants sol·lícites s'esforcen en facilitar al màxim la introducció de les fulles seques del corral de casa dintre la bossa. Encara eren massa joves per saber que la màxima superfície d'un quadrilàter s'obté amb el quadrat corresponent. Però segur que la intuïció les allunyava dels rectangles massa allargats. De fet és un exemple preciós de càlcul d'àrea per a un perímetre constant.

A batxillerat, aquest és un clàssic en l'aplicació de les derivades per als càlculs de màxims. Però una altra manera elegant d'enfocar el problema es pot pensar a partir de la fórmula de suma per diferència, com de fet ja ho férem en una altra mirada. En haver de multiplicar els dos costats d'un rectangle per saber la seva àrea, sempre es podrà millorar la superfície en una quantitat igual a la distància que separa cada un dels dos costats de la seva mitjana, al quadrat. Això és el que ens diu la suma per diferència, no?

Clar que si tinguéssim més mans, podríem canviar el polígon i millorar-lo encara més en superfície útil. Serà per això que els poals de fems són rodons?

Un Consell polièdric

Josep L. Pol i Llompart — 2009-08-08T02:22:04Z

Dornoch, Escòcia

A l'entrada de l'oficina d'informació turística del poble costaner de Dornoch hi trobam aquest rètol, en anglès i en gaèlic, que ens informa que som a les Highlands, el més gran dels 32 Consells administratius en què es divideix Escòcia. A part de la curiositat de la cinquena potència de dos, el logo de la Comhairle na Gaidhealtachd (per què dir-ho en anglès si tenen llengua pròpia?) em suggereix dos temes ben interessants i diferents. Un el de la geodèsia i la triangulació tan important en el traçat de mapes fins al segle XX. L'altre, el del desenvolupament pla de l'octàedre (o dels políedres en general). Agafem aquest darrer problema.

Si un fa cas a Pólya i comença per posar-se l'exemple més senzill, se'n tem que el tetraedre admet només dos desenvolupaments diferents: un en què els quatre triangles equilàters en formen un igualment equilàter de costat dos, i un altre amb els quatre triangles en línia. En ambdós casos, el perímetre de la figura que s'obté és sis.

Pel que fa a l'hexàedre, el cub vaja, ja trobam onze possibilitats. Ja se sap, quan la cosa es complica l'ordre és molt important. En concret, si un imposa 4 quadrats en línia, el problema dóna sis solucions, si imposam l'existència de tres i només tres quadrats en línia, les solucions són quatre mentre que evitant el fet que n'hi hagi més de dos, només hi ha una possibilitat. En aquest cas també trobam perímetre constant de catorze unitats per a tots els desenvolupaments.

Us atreviu amb l'octaedre? Per què el perímetre del desenvolupament pla d'un políedre regular ha de ser constant?

Tríptic nadalenc

Josep L. Pol i Llompart — 2008-12-19T15:13:12Z

Si l'any passat per aquest temps ens fixàvem en algunes decoracions polièdriques dels carrers de Madrid, aquesta matinada, abans del trenc d'alba, hem captat aquest dodecaedre estrellat al bell capdamunt de les oficines de les Indústries Mairata, a la rotonda de la carretera de Manacor a l'entrada de Son Ferriol. Segurament l'única estrella de Nadal que conté la divina proporció dotze vegades. Una preciositat. Per molts d'anys.

Icosaedre truncat futbolista

Daniel Ruiz — 2006-08-10T08:00:00Z


Icosaedre truncat futbolista

Cala Màrmols, Santanyí

Si en el món dels políedres arquimedians hi hagués categories, l'icosaedre truncat seria el rei del futbol. Format per pentàgons (12) i hexàgons (20), ha servit des dels anys 60 com a eina per jugar a aquest esport tan popular.

Però enguany hi ha hagut una notícia sorprenent. A l'icosaedre truncat li ha sorgit un competidor: l'octaedre truncat.

Al mundial de futbol d'Alemanya 2006, s'ha utilitzat com a nova pilota el Teamgeist, que és equivalent a un octaedre truncat.
Pareix que les proves físiques confirmen que la qualitat tècnica d'aquesta pilota supera a l'anterior rei de la pilota.

Matemàticament, aquest políedre està format per 8 hexàgons i 6 quadrats, i és capaç d'omplir l'espai de manera uniforme.

Sigui com sigui, pareix que tardarà bastant en implantar-se com a pilota popular. Actualment l'icosaedre truncat segueix sent el rei del futbol, de moment...

Un políedre cilíndric?

Josep L. Pol i Llompart — 2006-08-03T08:00:00Z


Un políedre cilíndric?

Hotel Carlemany i xarcuteria de Can Juandó, Girona

Estam esmorzant. Ben al davant meu, una figura polièdrica em desafia. És una de les originals mànegues d'aire condicionat del menjador de l'hotel. Està clar -penso- que ha de ser possible construir-la a partir d'un cilindre o, més senzill, a partir d'un rectangle de paper apergaminat plegant-lo de manera adient. Els fabricants no es poden complicar la vida amb segons què. Però, com ho podríem demostrar sense posar-hi la mà? Mentre vaig fent cabòries, sortim a cercar una mica d'embotit del país per dur a la família i entrem a la xarcuteria de Can Juandó. La capsa d'uns ous de pagès (això diu l'etiqueta) em recorden el vell recurs:


Un políedre cilíndric?

Reduïm el problema de la mànega d'aire a la mínima expressió que sigui significativa. Basti un pis de triangles isòsceles. Al damunt i al davall, un mateix polígon però rotats un respecte de l'altre de manera que els vèrtexs d'un estiguin a la perpendicular de les apotemes de l'altre. En aquest cas, un hexàgon; a l'hotel, un octògon. Vaja, allò que se'n diu un antiprisma. Per tant, demostrar que es pot construir la faixa lateral de triangles a partir d'un cilindre passaria per demostrar que el perímetre de tots els polígons 2n que apareixerien fent totes les seccions horitzontals possibles és igual al perímetre dels polígons base tenint en compte que, necessàriament, la línia recta que va des d'un vèrtex superior a un dels vèrtexs inferiors conté tots els vèrtexs corresponents d'aquests polígons 2n. Vos animau? Per cert, el políedre de l'hotel té quelcom d'enganyós: vos pareix que es pot plegar? Si fos així, que podria passar amb els ous del pobre pagès?

Una macla quasi transparent

2006-02-20T08:00:00Z


Una macla quasi transparent

Autopista d'Inca, sortida de sa Cabaneta

En cristal·lografia, una macla és aquell agregat mineral constituït per dos o més cristalls disposats amb una certa simetria. Aquestes unions, les macles, poden ser de contacte o de penetració. En el cas més senzill, el de contacte, ens trobem amb dos cristalls separats per un pla de simetria. En el cas de penetració, els cristalls estan relacionats a partir d'un eix de rotació. Una explicació senzilla del primer tipus seria que, alhora de encadenar àtoms, un pertorbació en el medi trenca la cadena d'agregació i passa a tenir una altra seqüència. Per exemple, si els àtoms s'encadenaven com

A - B - C - A - B - C - A - B - C

una anomalia pot enllaçar al B central una altra A, i llavors la seqüència s'invertirà de manera que obtindrem una seqüència simètrica, quan abans no ho era.

A - B - C - A - B - A - C - B - A

Podeu imaginar el que passa en 3 dimensions. Evidentment, el tema no és tan simple perquè estam parlant d'estructures determinades per les forces interatòmiques i llurs orientacions, de la geometria orbital dels àtoms que integren el mineral... i tot plegat fa que aquest fet només sigui viable en alguns casos. Casos, emperò, que arriben a donar formes tan belles com la rosa del desert.
No em sona que el sistema tetraèdric sigui un dels sistemes cristal·logràfics minerals, però l'autor/a de la instal·lació que apareix a la imatge ha volgut maclar dos tetraedres mitjançant un eix de rotació de 180º. El resultat es pot mirar també com un octaedre estrellat.