SBM-XEIX

Un problema de llibre

Josep L. Pol i Llompart — 2012-09-26T10:57:40Z

No, no es tracta d'una frase feta. Vertaderament, la primera vegada que vaig trobar aquest problema fou en un llibre, de text. Avui, en una escola de Ciutat, he trobat aquest mirall que el m'ha recordat. Deia, poc més o menys:

a) Quina és la diferència de longitud entre una circumferència de 5 m de radi i una altra de 10 m? b) Quina és la diferència de longitud entre una circumferència de 100 m de radi i una altra de 105 m? (Intenta pensar, abans de fer els càlculs per al segon apartat, si el resultat serà major, menor o igual que el del primer apartat.)

Un problema ben maco. Calcular per fer pensar. Pensar abans de calcular. La situació del mirall és -aproximadament- la mateixa. Dit d'una manera més senzilla i ben contextualitzada: podria saber el vidrier, comptant els quadrets de les dues primeres circumferències, quants en necessitaria per fer les següents? La solució la teniu davant.

L'altre record que em duu aquest mirall és el de l'episodi de Gauss i el gravador de la seva tomba. Diuen que un dels descobriments dels que estava més orgullós, era el d'haver trobat la manera de construir l'heptadecàgon regular a la grega, és dir, només amb regle i compàs (1796). N'estava tan cofoi, que va voler que gravassin aquesta figura a la seva tomba. Emperò el gravador va dir que no es podia fer perquè pràcticament el que es veuria seria una circumferència. Pobre Gauss. I és que la circumferència més interior d'aquest mirall, és en realitat un polígon de 53 costats! Potser tenia raó el picapedrer...

Una pell de mandarina loxodròmica

Josep L. Pol i Llompart — 2011-04-30T10:36:29Z

Fora de l'àmbit propi (cartografia, geografia, matemàtiques...), poca gent és conscient de la impossibilitat de representar fidelment la bolla del món en un pla. Res més senzill que mostrar-ho als infants: basti pelar una mandarina o esclafar un ou.

La representació del món ha fascinat les persones des de ben antic i, d'ençà que sabem que vivim sobre una superfície aproximadament esfèrica, la necessitat de tenir bones representacions sobre un pla ha estat fonamental en el domini del comerç, de la mar, de la guerra, del nou món...

Per la seva situació estratègica, Mallorca ha estat bressol d'alguns dels millors cartògrafs de la història (basti citar l'atles català dels Cresques o les cartes de Felip Bauçà amb les que Darwin pogué viatjar amb el Beagle).

Bàsicament, les grans rutes marítimes podien respondre a dos tipus de línia: la geodèsica, és a dir, el camí més curt entre dos punts sobre una superfície i que, en una esfera, correspon al cercle màxim que passa per aquests dos punts. I la loxodròmica, que és aquella línia que va d'un punt a un altre, mantenint fix el rumb de la brúixola. Aquesta línia, que evidentment ja no té perquè ser la més curta, tenia l'avantatge de ser molt senzilla de seguir.

La loxodròmica fou invenció del matemàtic i geògraf portuguès Pedro Nunes cap a 1537 i la famosa projecció del seu coetani Gerardus Mercator imposa que aquesta loxodròmica (realment una helicoide esfèrica) es transformi sobre el pla en una línia recta.

El (nombre) Pi més primaveral

Pilar Oliva — 2010-06-05T00:00:00Z

http://xeix.org/IMG/jpg_pi_primaver...
Dins el marc de l'exposició Fotomàtica que cada any convoca l'Institut Joan M. Thomàs, la nostra companya Henar Jiménez amb col·laboració amb Marion Dörr han presentat fora de concurs aquesta fotografia. Està acompanyada pel poema següent
Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros
El nombre de lletres de cada paraula coincideix amb els 20 primers dígits del nombre (...)

- Cultivar la mirada matemàtica / Circumferència, Art, Nombres Irracionals

Pi... aproximadament

Josep L. Pol i Llompart — 2010-03-13T11:14:46Z

La Trapa, Andratx

Andreu Ramis, erudit de la cultura popular mallorquina, ens fa arribar aquest fragment de l'art de Conró, del llorità Montserrat Fontanet (de qui ja parlàvem a una de les primeres mirades),

Nota que per canar una era o qualsevol radó hay a duas reglas: o quadrar- la y canar los quatre vents y trèurer el compte o canar-la ab duas canadas en creu y serà més aviat, y tant de una manera com de altre ca n'as tret el compte, puja lo que pujarà, has de llevar o trèurer la quarta part, y lo que quedara serà de terra.

Estam davant un cas pràctic de quadratura del cercle o, en realitat, de l'el·lipse, que és un cas més general. I dic de l'el·lipse, perquè crida l'atenció que faci dues canades en creu, cosa que podria ser per tenir en compte eres no ben rodones. (Tot i que, segurament, les eres que tenien voreres es construïen amb un centre i una corda, cosa que les feia “perfectament circulars”). Això de la creu, també podria ser per assegurar-se que havia pres la distància interior més gran possible (diàmetre) perquè, quan un cercle està traçat, tampoc no és trivial trobar el centre geomètric de manera pràctica.

Sigui com sigui, multiplicar les dues distàncies -si simplificam i pensam que l'era és ben rodona- és trobar l'àrea del quadrat circumscrit (que engloba) al cercle. Fontanet afirma, per tant, que els quatre trossets que sobren dels cantons són un quart de l'àrea total del quadrat. I tot i ser una aproximació, no es fa molt enfora.

Àrea del cercle =
Llavors, si en comptes del valor de arrodonim a 3, ja tenim els tres quarts de l'àrea del quadrat de què parla.

Això representa una diferència respecte del valor exacte de 0,1415... unitats quadrades, és a dir, del 4,5 % segurament era prou acceptable. (Tots els càlculs anteriors serveixen igualment pel cas que sigui un rectangle que engloba una el·lipse.)

Molins de Sumer

Josep L. Pol i Llompart — 2009-12-05T14:02:00Z

Prat de Sant Jordi, Palma

Qui -essent infant- no ha dibuixat un hexàgon simplement a partir d'una circumferència marcant els arcs corresponents amb el mateix radi d'aquella?

El poble sumeri i els savis babilonis, bons astrònoms ells, tenien un sistema de numeració prou especial: el de base seixanta (anomenat per això sexagesimal). La combinació d'aquest sistema numèric amb els sectors circulars procedents d'aquella operació geomètrica del primer paràgraf explicaria prou bé perquè el gir d'una circumferència es va dividir des d'antic en 360º: sis vegades seixanta. Tot i això, alguns enginys militars han traçat també circumferències de 400º encara que aquest sistema no ha fet fortuna.

A més, una coincidència astronòmica reforçaria prou aquest conveni: l'arc d'un grau així traçat correspon amb bona aproximació a un dia en la volta de la Terra al voltant del Sol.

Tant si miram el nostre rellotge com si escorcollam el cel, l'herència dels avantpassats iraquians, tan maltractats avui, ens surt a camí. Una herència de més de quatre mil anys.

Una post d'estovar

Josep L. Pol i Llompart — 2009-06-14T09:53:00Z

Carrer Llarg, Santa Maria

8:30 d'un dissabte cristal·lí de juny. A l'aiguavés del darrere de Can Buc hi feineja en Joan, un dels darrers mestres que peguen foc al forn cada nit. Des de la llinda del portal, el voladís de la teulada de la casa de l'enfront em sorprèn amb matemàtica senzillesa: arcs de circumferència pertot arreu. Encadenats de teula que bravegen de sinusoides. Gafes de canal que projectades somien mesures patró. Fils que esdevenen eixos àvids de punts de tall d'una punxant funció periòdica. Rajos de sol que xopen l'escena i dibuixen les penombres d'un crepuscle cilíndric. I a la senalla, aquelles petites coques de patata, una ensaïmada i un pa moreno que només fa un parell d'hores estovaven a les posts de l'obrador. Omnipresents arcs de circumferència.

Campanar foradat de cercles

Daniel Ruiz — 2008-09-14T00:00:00Z

Catedral de Sant Salvador, Bruixes, Bèlgica

Durant l'Edat Mitjana per tenir una mesura estàndard del temps s'acudia als rellotges grans i als campanars enormes. Amb ells es marcaven els intervals del dia: quan s'havia de dinar, anar al temple a resar, tancar la botiga, anar a sopar... També servien d'avís de celebració o per avisar de problemes: festes, invasions, incendis,...

I per aquesta raó, quant major fos la campana, més enfora podia arribar el seu so, i a més gent podia avisar de tots aquests esdeveniments.

A Bèlgica es conserven molts campanars i molts edificis amb campanes. Un d'ells és la catedral de Sant Salvador, a la ciutat flamenca de Bruixes. Dins podem trobar aquesta preciosa composició, que es tracta de cinc cercles concèntrics, de la mateixa mida cada un. Aquests cercles deixen l'element fonamental del campanar: el forat
pel qual es pot transportar la campana des del terra al punt més alt.

La Catedral de Sant Salvador es pot veure en la imatge següent.

La construcció actual d'aquest campanar data del segle XIX, amb un estil neoromànic. De quan l'església de Sant Salvador es va erigir en catedral
i es va demanar canviar l'anterior per una de més alt, de manera que es pogués superar la torre de l'església de la Nostra Senyora.

Per saber més:

Article de la catedral de Sant Salvador (en anglès).

Ciència de la fira I

Josep L. Pol i Llompart — 2008-03-19T00:00:00Z

Fira del Ram, Ciutat

Aquests darrers anys, una mica a contracor (i a contraoïda), em toca acompanyar les meves filles a la fira del Ram que a l'entorn de Pasqua s'estableix -com cada any- a Ciutat.

Prop de l'entrada hi ha aquesta atracció coneguda com "la uve" que capta l'atenció de la meva càmera, tant per ella mateixa com pel fons (s'atraca un canvi de temps). Entenc que les atraccions de fira cerquen regirar les butzes del personal com més millor. No he pogut fer la fotografia perpendicular al plànol que conté aquest carril de ferro i per tant se'ns fa difícil pensar, per exemple, quin model de corba descriuria aquest.

Sigui com sigui, més a prop d'aquesta, crec veure que els darrers metres de cada extrem són ja línies rectes. Com a mínim, seríem davant d'una funció definida a trossos. El bocí central podria ser tant una paràbola com la seva cosina petita la catenària. Però quina seria la corba que permetria el màxim de velocitat entre un punt alt i un punt baix donats?

Ara sabem que és la corba braquistòcrona, és a dir, una cicloide capgirada, i sembla que fou Nicolau de Cusa -deixeble de Ramon Llull- el primer de plantejar el problema que seria objecte d'atenció d'un manyoc de savis de la talla de Mersenne, Galileu, Roberval, Wren, Pascal, Leibniz, Newton o Jakob Bernouilli. Una història apassionant en la qual es va descobrir, entre d'altres coses, que l'àrea continguda en un cicle és el triple de l'àrea del cercle que la genera, o que la longitud de la corba descrita també en un cicle és quatre vegades el diàmetre de la circumferència generatriu.

Rutlons de tafona

Josep L. Pol i Llompart — 2007-06-17T08:00:58Z

S'Olivaret, Alaró

Entrar en una tafona -encara avui- és com penetrar el sancta sanctorum de les possessions de muntanya. Durant els mesos de tardor i, de vegades fins i tot entrat l'hivern si l'anyada era bona, aquesta estància regalimava vida. Una vida de color entre verd i auri que es guardava com el tresor que era als safaretjos de la botiga de l'oli. Sembla que les tafones són a Mallorca herència directa dels àrabs, tot i que a Menorca, als fonaments de l'ajuntament d'Alaior, s'hi descobriren l'any 1990 les restes d'una tafona romana (que fou destruïda per “necessitats d'espai”).

En una tafona, l'aparell encarregat de moldre l'oliva perquè després pugui ser premsada s'anomena trull. És interessant, des del punt de vista matemàtic, comprovar com han evolucionat els rutlons, aquestes peces tronco-còniques de pedra que a força de rodar i voltar anaven esclafant l'oliva. Ens hem de fixar, per una banda, en l'eix vertical central del trull, anomenat arbre, entorn del qual girava la bístia. Esbiaixat, tenim també l'eix del rutló. Bé idò, és així que en els trulls més antics, l'eix del rutló intersectava l'arbre (l'eix central) a una certa altura. Curiosament, amb la mecanització produïda a finals del s. XIX, els rutlons passen a tenir un aspecte com el de la fotografia. És a dir, l'eix del rutló intersecta l'eix del trull just en la seva base. Es tracta d'una millora?

Doncs efectivament. Si hi dedicau una estona i vos encomaneu a l'amic Thales , veureu que aquesta és l'única manera que totes i cada una de les seccions del rutló voltin sobre el pla del trull sense lliscar. És a dir, que si la circumferència màxima del rutló és 1/r-vegades la circumferència que recorre sobre el pla del trull, la circumferència mínima del rutló també serà 1/r-vegades la circumferència pròpia sobre el pla del trull. Paraula de Milet.

Un Priorat rodó

Josep L. Pol i Llompart — 2007-04-24T09:00:00Z

D'una botiga d'Olot estant.
És bonic estar cercant formatges i embotits per una botiga d'Olot i ensopegar de cop amb una botella com aquesta. La dependenta ens assegura que és un vi bo i l'etiqueta de cata ens assegura que és un vi rodó. En guardam idò, una botella per alguna ocasió especial. Ah! per als col·leccionistes de curiositats matemàtiques, està a l'abast també per vendre a la xarxa. Bodegues Gratavinum. Chapeau! O (...)

- Cultivar la mirada matemàtica / Geometria, Corregit, Circumferència, Vinyes i vi