SBM-XEIX

Caragols mallorquins

Josep L. Pol i Llompart — 2013-11-18T08:46:41Z

Escala de caragol, vora el mausoleu de Cristóbal Colon. Catedral de Sevilla.

N'Álvaro Jiménez és un arqueòleg de la Catedral de Sevilla que ens va guiar diumenge pels terrats catedralicis sevillans. De la seva mà aprenguérem moltes coses. Però poc abans d'acabar, en agafar l'escala de caracol per baixar, ens va dir que aquella tipologia d'escala, amb el buit central, s'anomenava caragol mallorquí. En sortir de l'escala que mena vora el mausoleu del descobridor, l'organista ens va obsequiar amb la coral del mestre de Leipzig, Joan S. Bach, Wer Nur Den Lieben Gott BWV 642.

Vàrem recordar que les escales de la Sagrada Família de Gaudí també segueixen el model illenc.

Segons el web Possessió de Galatzó que cita un tractat modern d'Alberto Sanjurjo, l'origen d'aquesta denominació podria venir del fet que el mestre d'obres Guillem Sagrera fos el primer a Espanya (llavors Regne de Mallorca) en desenvolupar aquest tipus d'escala amb barana helicoidal central, que permetria a més de fer l'escala un poc més lluminosa, estirar objectes des de dalt. En concret, l'escala primigènia es troba ubicada en una de les quatre torres de la Llotja de Ciutat, i fou incorporada també posteriorment al castell de Nàpols, obra del mateix mestre.

I com que a Mallorca no estam per caragols propis, una imatge del caragol de serp (Iberellus balearicus), d'espiral gairebé plana, endèmic de la serra de Tramuntana. Com més del 90% de caragols del món, presenta l'espiral dextrògira, és a dir, creix en el sentit de gir de les busques del rellotge.

Anàlisi nadalenca

Josep L. Pol i Llompart — 2011-01-03T00:57:00Z

Plaça de les Tortugues, Palma

Si és temps de Nadal i som a la plaça de les tortugues de Palma, podem dir que catenàries i paràboles llueixen amb llum pròpia. (Anomenam catenària a la forma que adopta una corda o cadena quan penja lliurament dels seus dos extrems i, paràbola, la forma que adopta un doll d'aigua llançat de forma inclinada.) Però no sempre ha estat així.

Galileu, que molt de tant en tant també s'equivocava, va creure (després de demostrar que el llançament d'un projectil era, efectivament, una paràbola) que la corba que descrivia una cadena (catena) en penjar lliurament pels seus dos extrems era també una funció polinòmica de segon grau, és a dir, la paràbola.

Però fou Huygens, que el 1673 publicà el famós Horologium oscillatorium, qui demostrà que la catenària no era una paràbola o, encara més, que ni tan sols era una corba algebraica.

Poc després, el 1690, Jakob Bernoulli en les seves no menys famoses Acta Eruditorum, llançava el repte (entre molts d'altres) de trobar l'equació que descrivia la rebel catenària.

La resposta arribaria del seu propi germà Johann, del mateix Huygens i de Leibniz, que, una vegada establert el càlcul integral, tancarien la qüestió dotant la catenària d'una funció en cosinus hiperbòlic. Restava encara per descobrir la funció exponencial.

Els ponts penjants tornarien agermanar les dues corbes ja què la catenària torna paràbola si d'ella hi penjam algun objecte que tengui densitat de pes horitzontal constant. És a dir, quan el pes de la cadena és insignificant respecte d'una línia horitzontal prou feixuga que sustenta, la forma de la catenària es modifica per tornar paràbola.

Penrose a Santa Maria de Maó

Daniel Ruiz, Josep L. Pol i Llompart — 2010-11-23T03:02:34Z

Església de Santa Maria, Maó, Menorca

Rombes per tot arreu. Estrelles de cinc puntes que apareixen, desapareixen i tornen aparèixer, però mai envoltades per la mateixa situació. Aquest és el nou trespol que els arquitectes responsables de la reforma de Santa Maria de Maó han escollit per a un temple que alberga un dels millors orgues històrics de les Illes Balears. El seu rector, mossèn Josep Manguán, ens explicà que la idea d'aquesta tessel·lació és la de fer una al·legoria de la globalització. Dues peces iguals per tot arreu, però cadascuna en una situació particular única i irrepetible.

Es tracta d'un dels enrajolats dissenyats per Roger Penrose. Format per dues peces elementals ben senzilles, dos rombes, un de gruixat i un de prim, la principal característica d'aquesta combinació és la seva aperiodicitat. En efecte, la gràcia d'aquesta combinació rau en què té un eix de simetria i un eix de rotació d'ordre cinc però no es pot generar per repetició de cap cel·la base. Per això s'anomena quasicristall.

El fet és que amb aquests dos rombes es poden construir tesel·lacions periòdiques senzilles, però per construir el de Penrose, a cada un dels costats d'aquests dos rombes es marca una orientació de manera que quan s'ajuntin dos d'ells aquestes orientacions coincideixin. Seguint un procés minuciós es podrà obtenir una tesel·lació completa del pla de forma aperiòdica.

Per a una manipulació virtual d'aquestes tesel·lacions es pot visitar l'applet de David Austin. En aquest s'ha de marcar el costat al que es vol afegir un rombe, de manera que encaixi en la orientació adequada. Una altra manipulació és al New P3 de l'applet de Craig S. Kaplan.

A partir d'ara haurem d'afegir la visita a aquesta església dins les guies turístiques matemàtiques. Una vertadera novetat aperiòdica dins un món periòdic...

(En la fotografia, s'ha modificat la intensitat de color dels rombes per distingir-los més fàcilment. A la realitat, totes les peces estan elaborades amb marbre blanc Macael de les pedreres d'aquest poble d'Almeria)

Campanar foradat de cercles

Daniel Ruiz — 2008-09-14T00:00:00Z

Catedral de Sant Salvador, Bruixes, Bèlgica

Durant l'Edat Mitjana per tenir una mesura estàndard del temps s'acudia als rellotges grans i als campanars enormes. Amb ells es marcaven els intervals del dia: quan s'havia de dinar, anar al temple a resar, tancar la botiga, anar a sopar... També servien d'avís de celebració o per avisar de problemes: festes, invasions, incendis,...

I per aquesta raó, quant major fos la campana, més enfora podia arribar el seu so, i a més gent podia avisar de tots aquests esdeveniments.

A Bèlgica es conserven molts campanars i molts edificis amb campanes. Un d'ells és la catedral de Sant Salvador, a la ciutat flamenca de Bruixes. Dins podem trobar aquesta preciosa composició, que es tracta de cinc cercles concèntrics, de la mateixa mida cada un. Aquests cercles deixen l'element fonamental del campanar: el forat
pel qual es pot transportar la campana des del terra al punt més alt.

La Catedral de Sant Salvador es pot veure en la imatge següent.

La construcció actual d'aquest campanar data del segle XIX, amb un estil neoromànic. De quan l'església de Sant Salvador es va erigir en catedral
i es va demanar canviar l'anterior per una de més alt, de manera que es pogués superar la torre de l'església de la Nostra Senyora.

Per saber més:

Article de la catedral de Sant Salvador (en anglès).

Espiral o hèlix? (NY03)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-18T01:24:50Z

Solomon R. Guggenheim Museum, New York

En les creacions artístiques o de disseny el component matemàtic és un factor més que apareix juntament amb la llum, el color o el volum. Per això és interessant conèixer i saber manejar amb propietat els elements geomètrics que han utilitzat els dissenyadors per crear les seves obres.

La importància de la geometria radica precisament en la seva utilitat per a l'estudi i tractament de les formes, com les que l'arquitecte Frank Lloyd Wright va utilitzar per idear l'edifici del Solomon R. Guggenheim Museum de Nova York.

Aquesta obra arquitectònica sovint es descriu com un edifici de disseny en espiral, però aquesta és una afirmació matemàticament incorrecta: espiral i hèlix són dos termes que es confonen fàcilment fins el punt en què familiarment s'arriben a considerar sinònims, sense ser-ho:

Una espiral és una corba que s'inicia en un punt central i es va allunyant progressivament del centre mentre gira al seu voltant. Les més conegudes són planes, com el solc d'un disc de vinil o els braços d'una galàxia espiral.

Una hèlix, en canvi, només és representable en un espai tridimensional com una corba contínua de pendent finit i no nul que gira al voltant d'un con (hèlix cònica) o d'un cilindre (hèlix cilíndrica).

Identificar hèlix amb espiral només seria vàlid en el cas de l'hèlix cònica (corba que talla les generatrius d'un con amb un angle constant), que es podria considerar com un cas particular d'espiral tridimensional (construïda a partir de l'espiral plana afegint-hi una tercera variable, l'altura, com a funció contínua i monòtona depenent de l'angle). Però en cap cas no és acceptable afirmar que l'hèlix cilíndrica és un tipus d'espiral tridimensional.

L'hèlix cilíndrica descriu una corba que talla totes les generatrius d'un cilindre recte amb angle constant. Dit altrament, la distància entre dos punts de tall consecutius de l'hèlix amb qualssevol de les generatrius és una constant de la corba, independent de la generatriu o els punts escollits.

I aquesta és precisament la forma que té la galeria principal del Guggenheim de New York: hèlix.

Optimització edificada (NY02)

Daniel Ruiz, Mònica Flaquer — 2008-01-14T00:00:00Z

Hearst Tower, New York

Crida l'atenció l'estructura en forma de graella diagonal que Norman Foster va dissenyar per a la Hearst Tower. Els triangles que la componen es veuen reforçats per suports diagonals entrecreuats fets d'acer que donen resistència a l'edifici, i distribueixen el pes i les forces internes de manera òptima. Aquesta carcassa permet que els diferents pisos se sostinguin per ells mateixos sense la necessitat d'emprar columnes que llevin espai i per si tot això fos poc, la quantitat d'acer estructural (que, per a més fer, és 80% reciclat) necessari per construir aquest gratacels tan sorprenent és un 20% inferior a la que es necessita per a les torres convencionals. A més es tracta d'un edifici pioner en la sostenibilitat mediambiental pel que fa a estalvi d'energia i ús eficient dels recursos.

En relació a això, una de les aplicacions de les matemàtiques que al llarg de la història ha trobat més profit per a la societat, és l'optimització. Un problema d'optimització consisteix a, donades unes condicions inicials fixes, determinar unes variables que es troben en un interval, de manera que es trobi un màxim o un mínim del resultat, optimizant-ne el procés. Un exemple bàsic és, donada una làmina d'àrea fixa, trobar les dimensions d'una capsa que es pot construir amb la làmina, perquè el volum de la capsa resultant sigui màxim. Està clar que l'objectiu d'estudiar aquests problemes és l'eficiència en la utilització de recursos, tan necessària cada vegada més.

En poques paraules, la Hearst Tower és l'optimització edificada.

Unificar els arcs a la Seu

Josep L. Pol i Llompart — 2007-11-10T14:17:12Z

La Seu de Mallorca

Hi ha moltes pàgines a la xarxa –algunes de molt bones- que ens expliquen quins són els principals tipus d'arc que s'han emprat al llarg del temps segons les èpoques i les cultures. A la Seu de Palma hi trobem bàsicament quatre tipus d'arc: l'arc de punta d'ametlla, que és el gòtic per excel·lència, l'arc rodó o de mig punt (típic del romànic), l'arc escarser (que és en realitat un arc de circumferència menor que mitja volta i que descansa directament sobre les rebranques) i l'arc d'ansa paner, dit també carpanell o de tres centres. Si mirem com es construeix aquest darrer (que podem trobar al claustre barroc), veurem que en realitat tots els altres arcs es poden fer derivar d'ell. És allò de la unitat en la diversitat.

Un arc carpanell es traça tal i com diu el croquis, a partir d'un punt sobre l'eix de simetria del portal o finestra que es vol construir. Després es defineixen, simètrics, els dos centres de les seccions laterals i, d'aquesta manera, ja tenim definits els tres centres i els dos radis. Un de petit per als traçats laterals i un de més gran per al central.

Què passaria si els dos centres dels bocins laterals els desplaçàssim cap als costats fins a la base dels capitells? Doncs que només ens quedaria la part central de l'arc i estaríem de fet, davant d'un arc escarser. Si per contra tiràvem els dos centres cap al centre de la figura i els fèiem coincidir, en no haver-hi tros central i els troços laterals ser iguals, estaríem davant d'un arc de mig punt.

Finalment, si aquests dos centres que ara coincidien continuen la seva progressió cap als altres costats després de creuar-se, obtindrem l'arc apuntat o, dit a Mallorca, de punta d'ametlla. Una senzilla aplicació amb el GeoGebra pot fer això ben palès.

Com podeu observar, només al portal major o de l'Almudaina, hi trobem quatre tipus d'arc. L'anomenat arc pla, que realment no seria arc sinó que seria el portal amb llinda. L'arc escarser, que és el que delimita el timpà per la seva part superior. L'arc de mig punt que seria el que duu la inscripció "INTROIBO IN DOMUN TUAM..." i l'arc ogival, molt poc marcat, que seria el superior de la fotografia. Per trobar l'arc carpanell, ens hauríem d'acostar al claustre de la Seu que correspon al període barroc.

Simetria a la Seu

Daniel Ruiz — 2007-09-15T01:16:46Z


Simetria a la Seu

Façana de Ponent de la Seu, Ciutat

La simetria és un dels recursos arquitectònics més emprats. Aquesta transformació geomètrica ens dóna sensació d'equilibri i harmonia.

I per què? Potser perquè la podem trobar per tot, la majoria d'animals i plantes tenen elements simètrics, fins i tot nosaltres mateixos som simètrics, només a l'exterior. També podria ser per la simplicitat de les formes simètriques: a partir d'un element, es pot construir tota la resta de la forma. O simplement, perquè les formes simètriques solen ser crear en l'ull humà allò que es diu sentiment de bellesa. És ben comprensible, doncs, que durant molt de temps s'hagi utilitzat la simetria com a patró de bellesa en l'arquitectura.

A la foto podem veure-hi la simetria d'una de les torres (criticades fins i tot avui en dia) de la Façana de Ponent de la Seu de Mallorca, que fou reconstruïda devers l'any 1860, després que l'anterior s'esquinçàs a causa d'un terratrèmol al 1851. Aquesta façana neogòtica fou dissenyada per
Jean Baptiste Peyronet. A les següents imatges podem trobar com era aquesta façana des del segle XVI fins al 1851 i just després d'aquest ensurt.

Per saber més:

Paraíso Balear. Lloc amb moltes fotos antigues de Palma.
Article impressionant de la Seu a la Viquipèdia en català.
Symmetry in architecture, article sobre la simetria en l'arquitectura.
Mathematics in Art and Architecture, molt recomanable.

Metamorfosi

Daniel Ruiz — 2007-07-31T00:00:00Z

Bruixes, Bèlgica

Hi ha un tema de discussió típic entre els matemàtics i els filòsofs (o en general, entre els interessats en la ciència), i és el següent:

Les matemàtiques, es descobreixen o s'inventen?

Hi ha certs models i conceptes matemàtics que semblen inventats, com ara la teoria de conjunts transfinits, i d'altres que sorgeixen de la natura, com aquest fragment de vitrall de Nostra Senyora, a la ciutat belga de Bruixes.

Jo m'inclinaria per una resposta mixta: en l'activitat matemàtica s'ha de mesclar quelcom d'invenció i quelcom de descobriment.

En qualsevol cas, la bellesa matemàtica és tan poderosa com ho és la bellesa de la natura.

D'inspiració gaudiniana

Josep L. Pol i Llompart — 2006-03-12T08:00:00Z


D'inspiració gaudiniana

Son Brondo, Sant Joan.

Quan una cadena penja en equilibri, suspesa de dos punts i fent panxa, descriu una corba que anomenam, necessàriament, catenària. Durant molts de segles, s'havia pensat que la catenària era una expressió natural de la paràbola però no fou fins a Johann Bernoulli (Basilea, 1667) que s'associà definitivament aquesta corba amb la funció exponencial. Quan la cadena no es mou, el conjunt de forces que actuen sobre cada baula està equilibrat. Per això, si invertim la posició de la cadena i, en comptes de baules, hi posam dovelles, tendrem un arc que es sustenta a si mateix, sense necessitat de contraforts. Aquesta propietat fou enunciada pel savi teutó G. W. Leibniz (Leipzig, 1646). Alguns arquitectes en feren ús els segles posteriors però no fou fins a Antoni Gaudí (Reus, 1852) que aquesta forma és duta al seu màxim esplendor. El tarragoní fou capaç d'ampliar l'aplicació de la corba passant del pla (només arcs) a l'espai (voltes o cúpules). Penjant bossetes de perdigons en diversos punts de la catenàries, segons el pes que després haurien de suportar com a volta, Gaudí crea un model més elaborat, anomenat funicular o penjant, d'una complexitat i efectivitat genials. Nogensmenys Gaudí es definia a si mateix com a geòmetra: “Soc geòmetra, és a dir, sintètic.”