SBM-XEIX

Una corona de circumferències

Josep L. Pol i Llompart — 2020-03-16T08:20:22Z

(3r dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

Un dels aprenentatges experimentals que hom pot fer des de ben jove, és el que ens mostra la fotografia. És a dir, que un cercle (salvant les distàncies, a la imatge) es pot envoltar d'una corona de sis cercles iguals tangents entre sí.

Una primera ullada ens diu que la circumferència que circumscriu aquests sis cercles (la vora del plat que els conté si el plat fos un poc més petit) tindrà un radi de longitud triple que el dels cercles inscrits.

També podem recordar que si seguim col·locant tomàtigues així, aquesta serà la millor manera d'empaquetar cercles, tal i com va demostrar Gauss. (Podeu consultar una altra mirada a Ciència de la Fira II)

Però en realitat, això no és més que un cas particular del teorema dels 7 cercles, que afirma que si inscrivim una corona de 6 cercles (no necessàriament iguals) tots ells tangents a l'interior d'una circumferència donada i tangents també cada un amb els seus dos veïns, les tres rectes que uneixen els punts de tangència de parells oposats, es tallen en un sol punt. Aquest teorema no fou descobert fins el 1974 per Evelyn, Money-Coutts, i Tyrrell. Aquí teniu una imatge tractada amb el GeoGebra.

Desigualtat triangular... a la japonesa

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-29T14:40:42Z

A les grans ciutats del Japó (aquesta és Kioto) trobam aquesta mena de passos de vianants que contemplen totes les possibilitats simultàniament. El primer pensament fou que aquest sistema no podia ser òptim, ja que no combinava el pas de persones amb el pas de cotxes. És a dir, hi ha moments en què els vianants poden anar en qualsevol... de les vuit direccions! mentre que els cotxes han d'estar necessàriament aturats en totes elles. Però després me'n vaig témer que aquest raonament era perquè a casa nostra, sembla que allò important són els cotxes i no els vianants. Al manco d'aquesta manera, els vianants poden fer ús de la desigualtat triangular i estalviar-se un grapat de passes. Les persones primer!

Una successió vinícola

Daniel Ruiz — 2014-08-25T00:23:57Z

Grans magatzems, Palma

A uns grans magatzems podem trobar, per a un mateix producte, diferents envasos com a la imatge. Primer ens podríem demanar... quina és la capacitat de cada una de les botelles?

(feis-ne una estimació abans de seguir llegint!)

Aquí teniu les capacitats:

1,5 l = 3/2 l
0,75 l = 3/4 l
0,375 l = 3/8 l
0,1875 l = 3/16 l

Si ho observam bé estan en forma de progressió geomètrica, és a dir, cada una és la meitat de la seva anterior.

Això ja de per si seria interessant: una aplicació de les fraccions estranyes (més enllà dels clàssics 1/2, 1/4, 3/4) a la vida real. Però ara anem pels preus...

Quina és la botella més barata per litre? És a dir, si volem comprar-ne una gran quantitat (no fixada), quina és la que sortiria més barata? I quina és la més cara?

(triau-ne una abans de seguir llegint!)

Aquí la lectura no és tan fàcil, ja que hem de dividir el preu de la botella per la seva capacitat en litres per obtenir el preu per litre (a algunes etiquetes hi apareix).

Després de fer els càlculs, aquí teniu la taula:

Capacitat	Preu botella	Preu per litre
1,5 l	10,64 €	7,09 €/l
0,75 l	5,99 €	7,99 €/l
0,375 l	3,85 €	10,27 €/l
0,187 l	1,77 €	9,45 €/l

És a dir, la botella gran és la més econòmica per litre, i es pot veure que les botelles més petites són molt més cares. Quin seria el preu de cada botella si es mantingués la progressió geomètrica, començant per la més barata per litre?

Capacitat	Preu original	Preu hipotètic	Diferència
1,5 l	10,64 €	10,64 €	0%
0,75 l	5,99 €	5,32 €	12,6%
0,375 l	3,85 €	2,66 €	44,7%
0,187 l	1,77 €	1,33 €	33,1%

És a dir, el preu per litre arriba a ser quasi un 45% més car si s'agafa la botella de 0,375 l.

Alerta amb pensar que els preus i la capacitat són proporcionals! De totes formes sempre hem de tenir en compte què volem consumir ja que, com diu el nostre apreciat Claudi Alsina,

"El més car és allò que no arribam a consumir."

Topologia estiuenca

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-17T04:58:20Z

Les primeres pluges d'estiu han deixat aquest paisatge al cossiol de fulles (Aspidistra elatior) del costat de la cisterna. Cada gota reflecteix, a la seva manera, el camp visual que inclou el fotògraf, les fulles adjacents i el coll de la cisterna. Aquestes deformacions, que òpticament podem anomenar anamorfosis, conviden a la creativitat.

En el camp de la topologia, totes aquestes superfícies en blanc i verd de cada gota podrien considerar-se equivalents (homeomorfes) sempre i quan no hi hagi trencaments, només deformacions. Aquí teniu una selecció per si algú s'hi vol distreure una mica.

En el camp de la música, trobaríem un cert equivalent en la forma de les Variacions, que són aquelles composicions que prenen un tema musical i el van modificant tant melòdicament com rítmica, però sempre amb una base harmònica més o manco reconeixible. Són famosos els casos de les variacions Goldberg per a clave de Bach o les variacions Diabelli per a piano de Beethoven.

Suposem una síndria esfèrica...

Josep L. Pol i Llompart — 2014-08-05T13:19:27Z

Grans magatzems, Tòquio

... doncs no! Almanco a Tòquio podem trobar síndries cúbiques! La pregunta que ara s'imposa és... i què hi guanyam amb síndries d'aquesta geometria? Per començar, podríem argumentar que així la síndria no presenta el problema de rodolar per la gelera o que hi cap millor en les seves prestatgeries. Però com que habitualment les modificacions no van en la direcció d'afavorir el client, sinó el comerciant... què hi guanya doncs el comerciant? Doncs el comerciant hi guanya prou. Per començar, en els viatges de transport de l'hort (si és que encara les fan a l'hort) a la botiga, el volum de càrrega del camió es pot aprofitar en un terç més (les esferes apilades segons la conjectura de Kepler -la millor com practicament demostrà Thomas Hales el 1998- ocupen només el 74% de l'espai). A més, com que el repòs sobre una cara plana dismuneix la pressió sobre la pell, les síndries no es copegen tant i se'n tuden menys.

I què hi perdem nosaltres? Doncs que pagam més pell i menys polpa. Arquímedes, ja havia conjecturat que l'esfera havia de ser la figura òptima que presentàs menys superfície per unitat de volum (cosa que convertí en teorema Hermann Schwarz el 1884).

La pregunta que ara s'imposa, doncs, és, quina forma haurien de tenir les síndries per deixar contents comerciants i consumidors? El mateix Kepler, observant els grans d'una magrana, observà l'encaix de dodecaedres de cares ròmbiques. Lord Kelvin feu una proposta l'any 1887 a partir de formes parescudes a un octaedre truncat i no va ser fins el 1993, que Weaire i Phelan descobriren altres formes que milloraven l'estructura en un 0,3%! Estructura que varen aprofitar els arquitectes del Centre Olímpic de Natació (el cub d'aigua) de Pequín a les olimpíades de 2012.

Síndries Weaire i Phelan? Què voleu que vos digui...

Geometria humana

Josep L. Pol i Llompart — 2014-07-27T15:23:31Z

Hakone, Open-Air Museum

A l'àrea de Hakone hi ha una sèrie de museus espectaculars. Per fer-nos una idea, en aquest cas concret, l'Open-Air Museum té un petit edifici dedicat íntegrament a l'obra de Picasso (olis, dibuixos i ceràmica). Però tal com indica el seu nom, el que el caracteritza són les escultures que té instal·lades a l'aire lliure en un parc immens. Una d'elles ens crida l'atenció: és la Interseting Space Construction (1978) de l'escultor nipó Ryoji Goto (1951).

L'escultor aconsegueix crear una estructura cristal·lina a partir del cos humà, col·locant els braços i les cames en plans perpendiculars, com si els peus i les mans ocupassin les posicions de sengles vèrtexs d'un tetraedre. És el mateix cas que la cristal·lització de l'aigua, en què el oxígens comparteixen àtoms d'hidrògen en posició tetraèdrica. Però si el que feim és fixar-nos en un cicle tancat, llavors el que apareix és l'estructura en ala de corb del cicle-hexà.

L'escultor, a més, constueix una macla ben original entremesclant les posicions d'homes i dones en entesa perfecte.

Anar-se'n per la tangent

Josep L. Pol i Llompart — 2014-07-27T02:36:55Z

Vol LH716 Frankfurt Tòquio

La informació que passen pels monitors de butaca en els vols intercontinentals és ben interessant des del punt de vista matemàtic. D'entrada, se'ns presenta aquesta sinusoide que marca les zones de nit i les de dia. A partir d'ella es poden formular algunes preguntes interessants:

Si suposam que la terra és esfèrica, aquesta frontera dia/nit és realment una funciò sinusoidal?
Suposant que el Sol és prou llunyà i que els rajos que ens arriben es poden considerar paral·lels, què ens indica el fet que els màxims i els mínims no arribin als pols?
La instantània presa en el moment donat, ens pot servir de rellotge? I de calendari? Té solució única? Si no és única, ho és alguna vegada?
Quina evolució caldria esperar en la forma de la sinusoide en un moment determinat del dia al llarg de l'any?
Per què l'avió fa aquesta trajectòria tan estranya en comptes d'anar en línia recta al seu destí?

En comptes de respondre les preguntes plantejades, el vol LH716 acabà sortint-se per la tangent. I això que de tornada el vol dura una hora més...

Per cert, algú sap perquè en la presentació inicial del món que presenta el Google Earth, l'ombra que destapa el món gira a l'inrevés que la zona de nit real?

Conillons amagats en el geoplà

Josep L. Pol i Llompart — 2014-04-06T13:54:57Z

Vinya nova a Santa Maria

Jugar a conillons amagats és un dels clàssics dels jocs d'infants a tot arreu (encara que actualment la gent s'entesti a dir-li pilla-pilla).

Una versió prou original seria aquella de col·locar qui ho duu a l'origen de coordenades en una vinya on tots els punts de coordenades enteres estan ocupats per un pal. La pregunta és: quins són els pals que veu i quins estaran tapats per a l'observador original?

Si hi jugam una mica, podem prendre el Geogebra i pintar de vermell els punts que quedarien ocults per algun altre punt. D'aqueta manera s'aniran observant regularitats molt interessants. Per exemple: els punts de la recta y=1 (o igualment els de x=1) seran tots de color blau, mentre que els punts de la recta y=2 (o x=2) estaran alternats de color. Què passarà amb els punts de y=3? i y=n? Quina relació hi ha d'haver entre les coordenades d'un punt perquè sigui o no visible?

I encara podríem pensar si hi haurà alguna direcció en què la visual no toparà amb cap punt. (Una altra ocasió perfecte per parlar de proporcionalitat i de nombres irracionals.) De fet n'hi haurà infinites, tantes com nombres irracionals representin el pendent de la mirada de l'observador.

Aquestes idees magnífiques de poder relacionar una graella entera amb fraccions irreductibles, nombres irracionals i altres conceptes, les podeu trobar al llibre de Tony Crilly 50 cosas que hay que saber sobre Matemáticas de l'editorial Ariel.

En Pere Calafat, del celler santamarier Jaume de Puntiró, ens explica que les diagonals de ceps alineats, tan visibles quan un passa amb la bicicleta o amb el cotxe vora una vinya, tenen nom propi. Una descoberta que li agraïm de tot cor. Així, els eixos de la graella s'anomenen tires (tira de per llarg i tira de per curt si la quadrícula és rectangular no quadrada). La diagonal principal s'anomena llobina. Entre la tira i la llobina, hi veurem el llobinó. I entre la tira i el llobinó el contrallobinó. Vertadera cultura matemàtica popular!

Rajoles llenegadisses

Josep L. Pol i Llompart — 2013-11-23T14:00:00Z

Carrer de sa Torre, Pòrtol

Passejant per Pòrtol, ens sorprèn aquesta façana de rajoles en junta trencada. M'hi vaig haver d'acostar i apamar-les per comprovar que efectivament, igual que les d'abaix, les dues fileres de dalt són ben paral·leles. Potser el fet de veure desplaçades les rajoles negres de la filera de dalt cap a l'esquerre, respecte de la posició de les d'abaix, ens fa imaginar una línia inclinada que baixa cap a l'esquerra. Estaria per tant dins el grup d'efectes anomenats cinètics, i que tan bé va saber emprar el corrent artístic del mateix nom.

Si ho voleu dur a l'extrem, podeu mirar aquesta (que no és més que una graella pintada):

Caragols mallorquins

Josep L. Pol i Llompart — 2013-11-18T08:46:41Z

Escala de caragol, vora el mausoleu de Cristóbal Colon. Catedral de Sevilla.

N'Álvaro Jiménez és un arqueòleg de la Catedral de Sevilla que ens va guiar diumenge pels terrats catedralicis sevillans. De la seva mà aprenguérem moltes coses. Però poc abans d'acabar, en agafar l'escala de caracol per baixar, ens va dir que aquella tipologia d'escala, amb el buit central, s'anomenava caragol mallorquí. En sortir de l'escala que mena vora el mausoleu del descobridor, l'organista ens va obsequiar amb la coral del mestre de Leipzig, Joan S. Bach, Wer Nur Den Lieben Gott BWV 642.

Vàrem recordar que les escales de la Sagrada Família de Gaudí també segueixen el model illenc.

Segons el web Possessió de Galatzó que cita un tractat modern d'Alberto Sanjurjo, l'origen d'aquesta denominació podria venir del fet que el mestre d'obres Guillem Sagrera fos el primer a Espanya (llavors Regne de Mallorca) en desenvolupar aquest tipus d'escala amb barana helicoidal central, que permetria a més de fer l'escala un poc més lluminosa, estirar objectes des de dalt. En concret, l'escala primigènia es troba ubicada en una de les quatre torres de la Llotja de Ciutat, i fou incorporada també posteriorment al castell de Nàpols, obra del mateix mestre.

I com que a Mallorca no estam per caragols propis, una imatge del caragol de serp (Iberellus balearicus), d'espiral gairebé plana, endèmic de la serra de Tramuntana. Com més del 90% de caragols del món, presenta l'espiral dextrògira, és a dir, creix en el sentit de gir de les busques del rellotge.