SBM-XEIX
SBM-XEIX
Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX

Arrel de la web > Cultivar la mirada matemàtica > El llibre dels morts

El llibre dels morts

dissabte 7 d’agost de 2010, per  Josep L. Pol i Llompart

Etiquetes: Geometria mesura
JPEG - 148 kB

Passejant pel mercat d’Artà, els dimarts, trobam aquesta botiga en un carrer proper. De prim compte, un pot arrufar el nas i pensar que la gent que ha decidit penjar aquest logotip no coneix gaire el principi de les palanques d’Arquimedes.

Una segona mirada, ens pot fer pensar que realment el plat no té perquè estar buit i que, per tant, potser amb el material adequat, l’equilibri és possible. Clar que per això necessitam fer mesura. Una estimació dels braços corresponents ens dóna una relació de mides de 5 a 2. Això vol dir que el material que hi hagi en el plat haurà de tenir una massa dues vegades i mitja superior a la massa del pes prismàtic que penja de l’esquerra.

Ara necessitam fer una estimació del volum de cada part. Prenent valors aproximats sobre una quadrícula, tenim que:

JPEG - 147.3 kB

Suposem ara (què seria de les matemàtiques sense aquest verb!) que el plat és un casquet esfèric i que per tant, la seva capacitat és  {\pi}h(3a^2+h^2)/6 (on "a" és el radi de la secció circular). A més, suposarem que el plat és ple (no hi ha rebava dibuixada).

I suposem que el pes és un prisma de base hexagonal (on el poc que surt per sobre compensa el plat i cadenes de l’altre costat) i que, per tant, el seu volum és:  3\sqrt3a^2h/2 (on "a" és el costat de la base hexagonal). En l’esquema de mesures, el valor de 9,0 correspondria a dues apotemes.

Així les coses, la relació entre ambdós volums (plat/pes) és de 6,86. Per tant, aplicant el coeficient de palanca de 2,5 resulta que, si volem que la balança quedi anivellada, el pes hauria de tenir una densitat de 2,74 (6,86/2,5) vegades el líquid que pugui omplir el plat. Si suposem que el pes és de ferro o llautó, com passa habitualment, tindríem una densitat d’uns 8 kg/l, la qual cosa obligaria a tenir el plat ple d’alguna cosa que fos densa com 2,9 kg/l.

Descartats l’aigua (d=1 kg/l), el mercuri (13,6 kg/l) o l’oli (0,9 kg/l), hauríem de pensar en àrids com l’arena (< 2,5 kg/l) o bé, tractant-se d’una botiga de productes naturals, el talc, que presenta una densitat prou propera de 2,8 g/l.

Idò, vos demanareu, a què ve el títol de l’article? Doncs que si un en volgués sortir més aviat, podria invocar simplement algun precedent històric rellevant, com el del judici d’Osiris en la imatge que ens ofereix el papir d’Ani, de quasi 26 m, elaborat durant la dinastia XVIII cap el 1300 aC.

JPEG - 192.8 kB

En aquesta famosa escena, Anubis compara el pes d’una ploma amb el pes del cor del faraó, que havia de ser més lleuger si volia anar més enllà. Clar que segons s’aprecia en el dibuix, els braços no són iguals i, qui vulgui anar més enllà...

Respondre a aquest article