SBM-XEIX
SBM-XEIX
Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX

Arrel de la web > Cultivar la mirada matemàtica > Desproporcionat principi de Fermat

Desproporcionat principi de Fermat

dissabte 19 de desembre de 2009, per  Josep L. Pol i Llompart

Etiquetes: Geometria Natura
JPEG - 169.8 kB

Quantes imatges de papallona hi ha en aquesta fotografia? Hom diria que hi ha la principal, orientada cap a la dreta, i quatre imatges especulars més orientades cap a l’esquerra. En efecte, quan un raig incideix sobre un medi transparent, part es reflecteix i part es refracta. Això és el que passa amb les quatre superfícies que presenten els dos vidres.

Criden l’atenció, emperò, les diferents separacions entre aquestes quatre reflexions. La primera de la segona, igualment separades que la tercera de la quarta, però amb molta més distància entre la segona i la tercera.

Parlant amb amb el vidrier de sa Cabaneta, ens fa saber que un vidre d’aquestes característiques és un 4-6-4, és a dir, 4 mm de vidre, 6 mm de buit i 4 mm més de vidre. Clarament, els reflexos corresponents no conserven aquestes proporcions. Què passa? Evidentment, d’això en té la culpa allò que en òptica s’anomena refracció.

Si un raig de llum no canviés la seva direcció en canviar de medi de propagació, la situació que tendríem seria la següent i, aleshores, els reflexos mantindrien la proporcionalitat de les gruixes i separacions entre vidres.

JPEG - 47.7 kB

Però tothom sap que els rajos de llum es desvien quan passen de l’aire a l’aigua o al vidre. És el clàssic efecte de la cullera trencada dins el tassó d’aigua. Aquest fet provoca, tal i com apareix a l’esquema següent, que la distància entre els dos rajos d’un mateix vidre disminueixi mentre que es manté constant la que separa els dos vidres.

JPEG - 43.6 kB

Willebrod Snell formulà el 1621 la llei que duu el seu nom i que verificava que quan un raig de llum incideix en un medi diferent, la relació entre els sinus dels angles d’incidència era inversament proporcional a la relació entre els índexs de refracció. És a dir, que

 n_1.sin\theta_1=n_2.sin\theta_2

Aquesta llei es pot deduir a partir d’una de més general, el principi de Fermat, formulat el 1657, que afirma que el temps emprat per un raig de llum en anar d’un punt a un altre és mínim. Hem de recordar que els índexs de refracció depenen de la velocitat amb què la llum es desplaça a través d’un medi diferent del buit. Per tant, en un medi com el vidre en què la velocitat és menor, la llum modifica la seva trajectòria en el sentit de disminuir el recorregut pel medi més dens. Això fa que l’angle d’incidència en aquest medi sigui, per tant, menor.

Respondre a aquest article