SBM-XEIX
SBM-XEIX
Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX

Arrel de la web > Activitats SBM-XEIX > Olimpíada Matemàtica de batxillerat > Exàmens d’Olímpiades > Exàmens d’Olimpíades 1ª fase a les Illes Balears

Exàmens d’Olimpíades 1ª fase a les Illes Balears

dijous 9 de setembre de 2010, per  Gemma Marina Rado, Jaume Monreal, Mayra

Documents adjunts

1 Missatge

  • Solució alternativa exercici 2 exàmen 2009 28 de desembre de 2013 a les 18:22, per  Pato Raimundo

    Practicant amb exàmens vells, he fet l’exàmen del 2009, però la solució oficial de l’exercici 2 no contempla la opció de fer-ho mitjançant semblança de triangles. Escriuré la meva resolució, potser només com a curiositat:
    - Els triangles ABE i ACF són semblants y ambdós angles  fan 60º (180º-120º).
    - Tenint en compte això: AF=AC/2 i AE=AB/2 (perquè AF=ACcos60º)
    - El triangle AEF i el triangle ABC són semblants, perqué tenen dos costats proporcionals (AC amb AF i AB amb AE) i un angle comú (Â=120º)

    Tenim així que l’angle AEF és igual a l’angle del vèrtex B, i l’angle AFE és igual a l’angle del vèrtex C.

    - Si agafam el punt mitjà D i projectam sobre ell una perpendicular al costat AC, obtindrem el punt mitjà del segment CE (pel teorema de Tales). Anomenem el peu d’aquesta perpendicular P.
    - Si ara unim E i D, obtenim un triangle DEP igual a DCP. (Són dos triangles rectangles amb un costat comú, i com que P és el punt mitjà de EC, llavors PC=EC, el qual vol dir que els triangles són iguals).
    Una altra manera de visualitzar-ho és "agafant" el vèrtex C i doblegar el triangle al voltant de DP, de manera que C quedi sobre E.
    - Feim el mateix que a la passa anteior, però unint D amb una perpendicular a AB i doblegant B sobre F.

    Tenim així que l’angle AED és igual a l’angle del vèrtex C i l’angle AFD és igual a l’angle sobre el vèrtex B.

    - Ara tenim que (angle DEF)= (angle de C)+(angle de B) i que (angle DFE)=(angle de B)+(angle de C)
    - És obvi que (angle de C)+(angle de B) ha de ser 60º, perquè els tres angles han de sumar 180º, i l’angle de A ja sabem que en fa 120.

    Tenim així que ambdós angles DEF i DFE són iguals i fan 60º. És obvi que l’angle de D ha de fer 60º també. Es demostra així que el triangle DEF és equilàter

    Com a ampliació, amb aquesta solució puc dir que el fet de que sigui equilàter es deu només a que l’angle de A sigui de 120º. En un cas diferent tindríem un triangle isòsceles amb els angles DEF i DFE iguals a (180-Â). Al’enunciat s’han fet 120º deliberadament per a que 180-120=60 i així el triangle sigui equilàter.

    Respondre a aquest missatge

Respondre a aquest article