El nen té la intel·ligència a les mans (Maria Montessori)

El dia a dia

T1 Ep.8 - Un problema de rondalla

dijous 18 de juny de 2020

Aquesta investigació pretén descobrir quina és la fórmula senzilla per calcular el número total d’ordenacions possibles i diferents d’un conjunt d’elements. És allò que en matemàtiques anomenam permutacions. (És important tenir en compte que sempre col·locam tots els elements, i que tots ells són diferents.)

A més, per fer-nos una idea del gran que pot arribar a ser aquest nombre, calcularem el temps que tardaríem en fer totes les ordenacions, per a cada cas, si en féssim una diferent cada segon fins exhaurir-les totes.

n= 1

Si només tenim 1 element, només tenim una possibilitat. P(1) = 1

n= 2

Si només tenim 2 elements (per exemple A i B), tendrem

AB, BA

Dues possibilitats. P(2) = 2

En realitat, hem de pensar que hem d’afegir un segon element a la única possibilitat que teníem amb un element. Aquest segon element, es podrà col·locar a la dreta o a l’esquerra. És a dir, 2x1.

n= 3

Introduïm ara un tercer element "C". Aquest podrà anar a l’esquerra, enmig o a la dreta de cada parella del cas anterior.

AB... CAB, ACB, ABC,
BA... CBA, BCA, BAC

Hem multiplicat per tres totes les possibilitats del cas anterior. Total, sis possibilitats. És a dir, 3x(2x1). Per tant, P(3) = 6

n= 4

Introduïm ara un quart element "D", que podrà anar a cada una de les quatre posicions possibles per cada ordenació anterior de tres elements.

CAB... DCAB, CDAB, CADB, CABD,
ACB... DACB, ADCB, ACDB, ACBD,
ABC... DABC, ADBC, ABDC, ABCD,
CBA... DCBA, CDBA, CBDA, CBAD,
BCA... DBCA, BDCA, BCDA, BCAD,
BAC... DBAC, BDAC, BADC, BACD

Hem multiplicat per quatre totes les possibilitats del cas anterior. Total, 4x(3x2x1). Si tenim 4 elements, tendrem doncs 24 possibilitats. P(4) = 24

n! (factorial d’n)

Si ens hi fixam, per calcular el nombre d’ordenacions d’un conjunt d’elements, s’ha de calcular el producte dels nombres naturals consecutius descendents a partir del nombre d’elements. En matemàtiques direm que calculam el factorial del nombre de partida i escriurem n!. És a dir:

5x4x3x2x1 = 5! (i es diu cinc factorial) Per tant, 5! = 120

7x6x5x4x3x2x1 = 7! (i es diu set factorial) Per tant, 7! = 5040

Els nombres factorials tenen un creixement sorprenent. Fixau-vos si no, en la taula següent que recull els factorials fins a 20 i el temps que tardaríem en fer per cada cas totes les ordenacions possibles si en féssim una cada segon.

Si ens hi fixam, veurem que el nombre d’ordenacions possibles de 20 elements (només 20 elements!) traduït a segons, és quasi 6 vegades la història de l’Univers. I cada història se estima en 13.500 milions d’anys.

En el cas dels 24 toms de les rondalles, el temps necessari per fer totes les ordenacions possibles a una per segon seria:

24! = 620448401733239439360000 s (aprox. 1 milió i mig d’històries de l’univers)

Increïble, no?

Respondre a aquest article