La probabilitat és el bon sentit aplicat al càlcul (Pierre S. de Laplace)

El dia a dia

Jugar als daus

dimarts 7 d’abril de 2020

(Daus de la ciutat romana de Pollentia, Alcúdia, Mallorca)

Els jocs de daus han acompanyat la humanitat fa més de 5000 anys. Els daus més antics que es conserven provenen de Xahr-i Sokhta, ciutat antiga al sud-est de l’actual Iran, i podrien ser de principis del 3r mil·leni aC. Aquests daus ja presenten la típica numeració amb puntets de l’1 al 6.

Encara abans, ja a finals del 4 mil·leni aC, trobam representacions a l’Egipte predinàstic d’un joc de fitxes i daus, el senet, que podria haver evolucionat fins al backgammon.

El precursor natural del dau seria l’astràgal, un os del turmell d’alguns animals domèstics com les ovelles o els porcs. En ser llançats aleatòriament, els astràgals acaben mostrant una de les seves quatre cares principals, que els romans associaven als nombres 1, 3, 4 i 6. La gran quantitat d’aquests ossets trobats en multitud de jaciments arqueològics tant a Europa com a Orient, fa pensar que podien estar associats a jocs molt populars. De fet, a Menorca, tenim constància d’un joc, la marraquinca, que va perviure fins ben entrat el s. XX.

Els àrabs, foren així mateix afeccionats jugadors que estampaven una de les cares del dau juganer amb el dibuix d’una flor de taronger. D’aquí, que una de les maneres d’anomenar el successos no predictibles sigui atzar, de l’àrab az-zahr.

Fonaments matemàtics

La figura geomètrica clàssica emprada per construir el dau dels jocs és el cub. Aquest poliedre regular presenta 6 cares iguals i indistingibles. Només el gravat de punts en cada una de les cares permet distingir-les. Per tant, si hom llença un dau sense controlar el moviment (sense fer trampes), la probabilitat que surti una o altra cara és la mateixa, és a dir, una de sis. Això es expressat en forma de fracció, 1/6, i la suma de totes les possibilitats ha de sortir 1.

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Hi ha jocs o propostes lúdiques que presenten la variant de llançar dos daus simultàniament en comptes d’un. Hem de tenir en compte, llavors, que encara que els daus es presentin iguals, cada un és en realitat diferent. Això es pot entendre millor si pensam que fem una marca a un dels dos, o bé que primer en llançam un i després l’altre. Aquí parlam de parell ordenat de resultats.

Dos dels casos més freqüents són els de sumar o multiplicar les puntuacions de cada resultat. En el cas de la suma, el nombre de casos favorables per a cada resultat final seria:

2= 1+1
3=1+2, 2+1
4= 1+3. 2+2, 3+1
5= 1+4. 2+3, 3+2, 4+1
6= 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
7= 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
8= 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2
9= 3+6, 4+5, 5+4, 6+3
10= 4+6, 5+5, 6+4
11= 5+6, 6+5
12= 6+6

Això vol dir, que el resultat global 7 és el més probable, mentre que el 2 o el 12 són els menys probables. En el cas de la multiplicació, els resultats possibles amb el nombre de casos seria:

1 =1x1
2= 1x2, 2x1
3= 1x3, 3x1
4= 1x4, 2x2, 4x1
5= 1x5, 5x1
6= 1x6, 2x3, 3x2, 6x1
8= 2x4, 4x2
9= 3x3
10= 2x5, 5x2
12= 2x6, 3x4, 4x3, 6x2
15= 3x5, 5x3
16= 4x4
18= 3x6, 6x3
20= 4x5, 5x4
24= 4x6, 6x4
25= 5x5
30= 5x6, 6x5
36= 6x6

Preguntes que ens podem fer

- Com estan col·locats els nombres de cada cara?

Tots els daus ben construïts compleixen una regla acceptada internacionalment: les puntuacions de cares oposades ha de sumar 7. Si ens imaginam un dau encara per marcar, quan posem l’1, a la cara oposada hi haurem de posar el 6. Ara ens quedaran 4 cares contigües indistingibles. Per tant, en qualsevol d’elles hi posarem el 2 i, automàticament en l’oposada, hi anirà el 5. Ara dues cares restants ja són distingibles. Hem trobat daus en les dues possibilitats.

En el cas de la imatge anterior, podem veure com en un cas la seqüència 2, 3, 5, 4 gira en el sentit horari (i l’1 a dalt) mentre que en l’altre cas la seqüència esmentada gira en sentit anti-horari (i l’1 a dalt).

- Hi ha altres formes de daus?

Els anomenats cossos platònics són aquells poliedres amb totes les cares regulars i iguals. Per tant, les seves cares també seran equiprobables, és a dir, amb la mateixa probabilitat. Només n’existeixen 5, que són: el tetraedre, el cub, l’octaedre, el dodecaedre i l’icosaedre. Aquests daus (i d’altres) han fet fortuna per mor dels jocs de rol.

I encara hi hauria tota una àmplia gamma de models i possibilitats.

Frases famoses

- Alea iacta est

S’atribueix aquesta frase a Juli Cèsar en el moment de travessar el riu Rubicó, cosa que provocà l’inici de la 2a guerra civil romana. Literalment significa: s’ha llançat el dau (la sort ha sigut llançada).

- Tot és atzar. Com als jocs de daus, veig homes amb fortuna i d’altres sense sort

Extreta de l’obra Electra d’Eurípides

- L’atzar és la mesura de la nostra ignorància

Dita per Henri Poincaré, fent gala del corrent determinista de finals del s. XIX.

- Déu no juga als daus

Dita per Albert Einstein en el mateix sentit que Henri Poincaré i en rebel·lia pel corrent indeterminista de principis del XX. Niels Bohr, pare de la mecànica quàntica, li va respondre: "I qui ets tu per dir-li a Déu el que ha de fer?"

- El que no està rodejat d’incertesa és impossible que sigui cert

Dita per Richard P. Feynman en el mateix sentit que Bohr.

Respondre a aquest article