El nen té la intel·ligència a les mans (Maria Montessori)

El dia a dia

El nombres triangulars

dijous 2 d’abril de 2020

Si agafam els nombres més senzills, els nombres naturals, i l’operació més senzilla, la suma, estarem parlant dels nombres triangulars. En efecte, és coneix com a nombre triangular aquell nombre que es pot obtenir sumant els nombres naturals consecutius a partir de l’1. Així, els primers nombres triangulars seran:

- 1
- 1+2 = 3
- 1+2+3 = 6
- 1+2+3+4 = 10
- ...

El fet d’anomenar-los triangulars fa referència a aquesta bonica relació entre aritmètica i geometria que els alumnes de primària poden fer ben prest, proposant simplement la construcció de termes o figures successives.

Podria semblar que els nombres triangulars són una mera invenció matemàtica, però el cert és que han deixat un rastre important a nivell històric i cultural.

Per començar, en l’àmbit de la religió catòlica, el 3 (o en la seva versió geomètrica el triangle) és la representació de la divinitat. Per això segurament un dels primers logos ha estat aquest, el triangle.

(Imatge de Déu a Santa Maria d’Inca i triangle diví al portal major de Sant Bartomeu de Sóller)

De fet, l’ús dels nombres triangulars en els llibres bíblics sol estar associada a la referència divina. Vet aquí dos exemples rellevants. Sant Joan afirma al llibre de l’Apocalipsi que el nombre del dimoni és el 666. Doncs aquest és un nombre triangular (1+2+3+...+36). Així mateix, Sant Joan explica al seu evangeli (21:1-11) que els deixebles havien pescat 153 peixos quan feren el que els digué Jesucrist. I resulta que 153 és un nombre triangular (1+2+3+...+17).

En la història de les matemàtiques, hom pensa que els pitagòrics podrien haver tingut el 10 (1+2+3+4) com a símbol místic, precisament per ser la suma de totes les dimensions geomètriques (1 seria el punt, 2 la línia, 3 el pla i 4 l’espai). A aquesta figura l’anomenaven la Tetraktys.

Preguntes que ens podem fer:

- Com evoluciona la paritat dels nombres triangulars?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... Per tant, observam que hi ha alternança de 2 parells i 2 senars. És interessant reflexionar sobre el perquè.

- Com puc saber el resultat d’una suma triangular sense haver de sumar tots els termes?

Hi ha moltes maneres d’arribar a la solució. Una rajola quadrada tallada en diagonal ens pot ajudar a trobar un camí.

Com es veu, si volem sumar 1+2+3+4+5 quadradets, basta sumar la meitat del quadrat de 5x5 amb la meitat de 5.

Expressem aquest fet ara amb notació algebraica. Si anomenam triangular d’ordre n (T(n)) al nombre que suma els primers n-nombres naturals,

T(n) = n.n/2 + n/2 = n.(n+1)/2

La llegenda afirma, sense fonament històric, que Gauss calculà de ben jovenet, davant l’estupor del seu mestre, la suma de 1+2+3+...+100. Podeu veure una recreació a la pel·lícula Midiendo el mundo.

- Què passa si sumam dos nombres triangulars consecutius?

Els primers nombres triangulars són: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28... Fem proves de sumar dos termes consecutius:

- 1+3 = 4
- 3+6 = 9
- 6+10 = 16
- 10+15 = 25

Aquests resultats presenten sempre el quadrat perfecte d’un nombre natural. Això també és pot veure a la rajola, on la suma del triangular de 4 (10) i la suma del triangular de 5 (15) dóna 25, que és el quadrat de 5.

És a dir, que amb dos nombres triangulars consecutius, sempre podem construir un quadrat.

- Què passa si ara anam sumant nombres triangulars consecutius des de l’1?

Que obtindrem uns altres nombres anomenats tetraèdrics, perquè amb la seva suma sempre es pot construir un tetraedre. A la fotografia següent, es pot observar la suma dels nombres triangulars 1+3+6+10+15 per formar el tetraedre de 5 pisos (cada pis és un nombre triangular) i 35 bolles.

Respondre a aquest article