Corones de cel·lulosa

(12è dia de confinament per la pandèmia de la COVID-19)

Quan aquesta pandèmia hagi acabat, una de les anècdotes que quedaran en la memòria de la gent serà, segurament, aquesta neurosis d’acumular paper higiènic, aquesta corona cilíndrica de paper de cel·lulosa.

Plantegem-nos d’entrada un exercici de mesura que, com tots aquests exercicis, hauria de passar per un exercici d’estimació inicial. Farem primer les preguntes per si el lector o la lectora vol investigar pel seu compte.

 Quina amplada té la tira de paper?
 Quina llargada té cada trosset?
 Quants trossets hi ha en tot el rotlle?
 Quines dades addicionals necessit per poder calcular la gruixa del paper?
 Què pesa un bocí de paper?

Respondre a les dues primeres preguntes passa per fer una mesura directa. Utilitzam per a això un regle estàndard. Els resultats són 9,5 cm d’amplada per 12,4 cm de llargada cada boci perforat en el model que tenim a l’abast.

L’estimació de quants trossets hi ha en un rotlle és força difícil i passa, quin remei, pel recompte directe. Si no ens hem descomptat, ens surten 325 bocins que, a raó de 12,4 cm cada un, ens dóna un total de longitud de 40 m (i 30 cm).

Com veim, molt paper en molt poc espai i és que, com deia Jorge Wagensberg, l’espiral compacta. Com ho podríem fer per saber quina és la gruixa del paper? D’entrada, queden descartats tots els instruments de mesura clàssics com regles, flexòmetres, etc. S’imposa utilitzar les dades anteriors per calcular-ho. Necessitam, a més, saber el radi menor i el radi major de la corona de paper.

La mitjana de radis que hem obtingut amb diverses mesures sobre diversos rotlles, és de 1,9 cm per a la cara exterior del cilindre de cartó, on comença el paper, i de 5,7 cm per al radi major. Com ho feim per calcular el nombre de voltes?

Un model prou acurat i senzill de càlcul seria suposar que el paper, en comptes d’estar enrotllat en espiral, en realitat forma circumferències concèntriques el radi de les quals va augmentant progressivament la gruixa del paper. Aquesta suposició, que seria exacta en el cas de la primera volta, ha de ser bastant fiable per la finesa del paper. Això voldrà dir que els 40 m de paper seran la suma de termes d’una progressió aritmètica, ja que la longitud de la circumferència és proporcional al radi i aquest, com hem dit, serà una successió de termes des de 1,9 fins a 5,7 cm amb una diferència "d" igual a la gruixa del paper. Ho tenim tot doncs.

Ara, recordant que la suma de termes d’una progressió aritmètica és la mitjana entre el primer i el darrer terme multiplicada pel nombre de termes, tendrem que

4030 = 2.pi.(1,9+5,7).n/2 i per tant, n= 169 voltes

La gruixa del paper està relacionada amb el nombre de circumferències de manera que 3,8/n =d i per tant d= 0,225 mm