El con d’Apol·loni

El con d’Apol·loni és un con material al qual se li han fet quatre seccions en les direccions adients per obtenir el perfil d’una circumferència, una el·lipse, una paràbola i una hipèrbola.

Quan el tall és perpendicular a l’eix del cilindre obtenim la circumferència. Si el tall és una mica esbiaixat però segueix produint una línia tancada, llavors obtenim una el·lipse. La primera corba que ja no és tancada (i per tant el seu eix és paral·lel a la generatriu del con) produeix una paràbola. Finalment, si seguim esbiaixant el tall obtenim tota la família d’hipèrboles possibles.

Vist d’aquesta manera, la circumferència només seria un cas particular d’el·lipse i la paràbola el cas de transició entre les el·lipses i les hipèrboles.

Tot i el nom, el fet de reconèixer totes aquestes quatre corbes com a filles d’un mateix objecte no és segurament obra d’Apol·loni de Perge (al voltant de 262 aC - al voltant de 190 aC), però ell va ser el primer que va sistematitzar tot el coneixement que es tenia sobre aquestes corbes en el llibre Sobre les seccions còniques.

Obtenir la peça

Tot i que existeixen des de fa estona reproduccions del con d’Apol·loni en diversos materials (metall, plàstic...) l’exemplar de la fotografia està fet amb llenya de roure i és obra del torner Francisco Treceño (Valladolid). És un treball extraordinari que pensam que s’ho paga tenir i que es pot veure al web www.artmadera.com

En ocasió de l’any 2000 com any mundial de les matemàtiques, la ceramista portolana Pilar Sastre feu una magnífica reproducció en ceràmica per a l’exposició Arts Matemàtiques (Palma, 2000).

Activitats didàctiques

• Veure la pel·lícula dirigida per Alejandro Amenábar Àgora, disponible en DVD, on es condensa l’evolució dels conceptes astronòmics de gairebé un mil·leni en la persona d’Hipàtia d’Alexandria. Recomanable en general a partir de 3r d’ESO.
• Desenvolupar les còniques a partir de plegar paper (mirau els vídeos).
• Fer l’el·lipse amb el mètode del jardiner.
• Dibuixar l’ombra d’un objecte puntual sobre una superfície plana (paret, terra...) al llarg de diversos moments durant una jornada escolar. Traçarem així una magnífica i ben real hipèrbola. (En els equinoccis en realitat seria una recta, i com més lluny dels equinoccis, més corbada serà la hipèrbola)
• Experimentar amb les eines del GeoGebra

Vídeos

 Fragment d’Àgora on es presenta el con d’Apol·loni
https://www.youtube.com/watch?v=KzvQuEgDRNs
 Fragment d’Àgora on es traça l’el·lipse pel mètode del jardiner
https://www.youtube.com/watch?v=DNo-0By5384
 Introducció i construcció de la paràbola en paper (en anglès):
https://www.youtube.com/watch?v=wtk5q8wGAe0
 Construcció de la hipèrbola en paper (en anglès):
https://www.youtube.com/watch?v=nEISCCjObPg
 Construcció de l’el·lipse en paper i explicació de perquè ho és (en anglès):
https://www.youtube.com/watch?v=pSTa8a36RCU